Dois atletas disputam 10 provas de percurso em 10 etapas sucessivas. Os tempos de cada etapa são os mesmos e a tabela a seguir mostra as distâncias, em km, percorridas por cada um deles nas quatro etapas iniciais.
1 2 3 4
ATLETA A
ATLETA B
Se a vitória é dada àquele que alcançou o maior percurso, diga qual foi o atleta vencedor.

Passo 1

O enunciado apresenta dois atletas que disputam 10 etapas de mesma duração. Na tabela, os percursos do atleta A nas primeiras quatro etapas são 1/2,,1/4,,1/8,,1/16, indicando que na etapa k ele percorre
12^k
Para o atleta B, os percursos são 1/(1cdot2),,1/(2cdot3),,1/(3cdot4),,1/(4cdot5), indicando que na etapa k ele percorre
1k(k+1)
Precisamos somar os percursos das 10 etapas de cada atleta e comparar quem percorreu mais.

Passo 2

Para o atleta A, temos uma progressão geométrica de razão r = 1/2 e primeiro termo a1 = 1/2. A soma dos 10 primeiros termos dessa PG é dada por
SA ;=;sumk=1^1012^k ;=;a1;1 - r^101 - r

Passo 3

Substituindo a1 = 1/2 e r = 1/2, vem
SA = tfrac12l(1-(tfrac12)^10r)1 - tfrac12 =1 - 12^10 = 10231024

Passo 4

Para o atleta B, cada termo pode ser escrito como diferença telescópica:
1k(k+1) = 1k - 1k+1
Somando de k=1 até 10 temos
SB = sumk=1^10l(1k - 1k+1r) =1 - 111 = 1011

Passo 5

Comparando as somas totais:
SA = 10231024approx0,9990, SB = 1011approx0,9091,
portanto SA > SB.

Resposta

O atleta A foi o vencedor.

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