Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{2}{16 n^{2}-8 n-3}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{2}{16 n^{2}-8 n-3}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge e, em caso afirmativo, calcular a soma. O conteúdo principal aqui é usar frações parciais para transformar a soma numa série telescópica.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador como produto de termos lineares. Note que as raízes da equação
são
e
, de onde
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando em ambos os lados por
vem
Comparando coeficientes de
e termo constante, obtemos
e
. Daí
e
, logo
,
.
Passo 3
Substituindo na expressão geral,
Assim o
-ésimo somatório parcial é
Escrevendo os primeiros termos vemos o “corta-e-cola”:
Passo 4
Para concluir, tomamos
. Como
,
Logo a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e