Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{2}{16 n^{2}-8 n-3}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty216n^2-8n-3
converge e, em caso afirmativo, calcular a soma. O conteúdo principal aqui é usar frações parciais para transformar a soma numa série telescópica.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador como produto de termos lineares. Note que as raízes da equação 16n^2-8n-3=0 são n=tfrac34 e n=-tfrac14, de onde
16n^2-8n-3=(4n-3)(4n+1)
Procuramos constantes A e B tais que
2(4n-3)(4n+1) =A4n-3+B4n+1
Multiplicando em ambos os lados por (4n-3)(4n+1) vem
2=A(4n+1)+B(4n-3)
Comparando coeficientes de n e termo constante, obtemos 4A+4B=0 e A-3B=2. Daí B=-A e 4A=2, logo A=tfrac12, B=-tfrac12.

Passo 3

Substituindo na expressão geral,
2(4n-3)(4n+1) =12l(14n-3-14n+1r)
Assim o N-ésimo somatório parcial é
SN =sumn=1^N216n^2-8n-3 =12sumn=1^Nl(14n-3-14n+1r)
Escrevendo os primeiros termos vemos o “corta-e-cola”:
SN=12l(11-15 +15-19 +dots +14N-3-14N+1r) =12l(1-14N+1r)

Passo 4

Para concluir, tomamos Ntoinfty. Como tfrac14N+1to0,
limNtoinftySN =12l(1-0r) =12
Logo a série converge e sua soma é tfrac12.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty216n^2-8n-3 =12

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