Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}(-1){n} \frac{\operatorname{sen} n^{2}+3 \cos n}{2^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty(-1)^n,sin(n^2)+3cos n2^2n
que é uma série infinita de termos reais. O conteúdo envolvido é teste de convergência (absoluta/condicional) e, quando possível, soma de séries geométricas complexas. Vamos usar o teste da razão para a convergência absoluta e, em seguida, separar a série em duas partes para ver qual delas pode ser somada explicitamente.

Passo 2

Escrevemos 2^2n=4^n e separamos a série em
S ;=;sumn=1^infty(-1)^n,sin(n^2)4^n ;+; 3sumn=1^infty(-1)^n,cos n4^n ;=;S1+S2

Passo 3

Para S1=sum(-1)^nsin(n^2)4^n temos
l|sin(n^2)/4^nr|<=14^n,
e como sum1/4^n converge (é geométrica com razão 1/4<1), pelo teste da comparação ou da razão S1 converge absolutamente. Não há forma elementar conhecida para escrever essa soma em função de termos fechados.

Passo 4

Agora S2=3sumn=1^infty(-1)^n(cos n)/4^n. Note que
(-1)^ncos n=Rel[(-1)^ne^i nr] =Rel[( -e^i)^nr]
Logo, definindo
z=-e^i4,
temos
sumn=1^infty(-1)^ncos n4^n =Rel(sumn=1^inftyz^nr) =Rel(z1-zr)

Passo 5

Calculamos Re(z/(1-z)). Com z=-(cos1+isin1)/4 obtemos
Rel(z1-zr) =-4cos1+117+8cos1
Multiplicando por 3 dá
S2 =3,Rel(z1-zr) =-3,(4cos1+1)17+8cos1

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge). Escrevendo-a em duas partes:
sumn=1^infty(-1)^nsin(n^2)+3cos n4^n =underbracesumn=1^infty(-1)^nsin(n^2)4^nconver>=, sem forma fechada conhecida ;-;3,(4cos1+1)17+8cos1

Exercícios relacionados