Dada a curva
,
Mostre que
é a interseção de um cilindro parabólico com um cilindro circular.
Mostre que
Passo 1
Beleza, então a gente tem a curva
e precisa mostrar que ela “é” a interseção de dois cilindros: um circular e um parabólico.
Conteúdo: geometria de superfícies no espaço e identidades trigonométricas básicas.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Relações entre e
Passo 2
Primeiro, reescreve as duas primeiras coordenadas em termos de e
:
Agora a gente já tem
Passo 3
Vamos eliminar o
entre
e
pra achar o cilindro circular.
De vem
De vem
Então
Reescrevendo isso:
Pronto, esse é o cilindro circular de eixo paralelo a
Passo 4
Agora olha a terceira coordenada:
. Daí
Mas antes a gente tinha . Logo
Essa é a equação de um cilindro parabólico (parábola no plano
, estendida em
):
Passo 5
Como cada ponto
satisfaz simultaneamente
a curva é exatamente a interseção desses dois cilindros.
Resposta
A curva
é a interseção do cilindro circular
com o cilindro parabólico