Dada a curva alpha(theta)=(sen 2 theta, 1-cos 2 theta, 2 cos theta),
Mostre que alpha é a interseção de um cilindro parabólico com um cilindro circular.

Passo 1

Beleza, então a gente tem a curva

e precisa mostrar que ela “é” a interseção de dois cilindros: um circular e um parabólico.
Conteúdo: geometria de superfícies no espaço e identidades trigonométricas básicas.
O que vamos usar:
  • Relações entre e alpha(theta) = (sen 2theta,;1-cos2theta,;2costheta)

Passo 2

Primeiro, reescreve as duas primeiras coordenadas em termos de e sentheta:

Agora a gente já tem costheta e x=sen2theta=2senthetacostheta, y=1-cos2theta=2sen^2theta em função de e x.

Passo 3

Vamos eliminar o theta entre x e y pra achar o cilindro circular.
De vem

Então
Reescrevendo isso:
y=2sen^2theta
Pronto, esse é o cilindro circular de eixo paralelo a sen^2theta= y2:
x^2=(2senthetacostheta)^2=4sen^2thetacos^2theta=4l( y2r)(1- y2)=2y - y^2

Passo 4

Agora olha a terceira coordenada: z=2costheta. Daí

Mas antes a gente tinha . Logo
cos^2theta=z^24,sen^2theta=1-cos^2theta=1-z^24
Essa é a equação de um cilindro parabólico (parábola no plano sen^2theta=tfrac y2, estendida em y2 = 1 - z^24Longrightarrow y = 2 - z^22):
yz

Passo 5

Como cada ponto alpha(theta) satisfaz simultaneamente
x^2+(y-1)^2=1,y=2-tfrac12z^2,
a curva é exatamente a interseção desses dois cilindros.

Resposta

A curva alpha(theta) é a interseção do cilindro circular
x^2+(y-1)^2=1
com o cilindro parabólico
y = 2 - z^22

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