Dada a curva
Calcule a denivada de y em relação a lx=cos ^2 t y=1-sen t ; 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que estamos vendo aqui é um problema de cálculo envolvendo curvas paramétricas. A gente precisa encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas em funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as curvas paramétricas. Nesse caso, tanto $ x $ quanto $ y $ são expressos em função de um parâmetro $ t $. As equações são:
x
Nossa meta é encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que representa a inclinação da curva em qualquer ponto.

Passo 3

Para encontrar $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ t $, usamos a seguinte fórmula da regra da cadeia:
dydx
Isso significa que precisamos primeiro calcular $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $.

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $. Temos que:
dxdt
Para derivar isso em relação a $ t $, usamos a regra da potência e a regra da cadeia:
x = cos^2 t

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{dt} $. A função $ y $ é:
dydt
Derivando em relação a $ t $:
y

Passo 6

Com $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $ calculados, podemos encontrar $ \frac{dy}{dx} $:
dydt

Resposta

A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y

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