Dada a curva
Calcule a denivada de y em relação a
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Calcule a denivada de y em relação a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que estamos vendo aqui é um problema de cálculo envolvendo curvas paramétricas. A gente precisa encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas em funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as curvas paramétricas. Nesse caso, tanto $ x $ quanto $ y $ são expressos em função de um parâmetro $ t $. As equações são:
Nossa meta é encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que representa a inclinação da curva em qualquer ponto.
Passo 3
Para encontrar $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ t $, usamos a seguinte fórmula da regra da cadeia:
Isso significa que precisamos primeiro calcular $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $.
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $. Temos que:
Para derivar isso em relação a $ t $, usamos a regra da potência e a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{dt} $. A função $ y $ é:
Derivando em relação a $ t $:
Passo 6
Com $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $ calculados, podemos encontrar $ \frac{dy}{dx} $:
Resposta
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é: