Encontre a solução geral das seguintes de primeira ordem e.d.o. lineares :
x y^prime+2 y=x^2-x+1, (

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear
x,y' + 2,y = x^2 - x + 1
Aqui o conteúdo é “equação diferencial linear de 1º ordem” e vamos usar o fator integrante. Primeiro transformamos a equação para a forma padrão
y' + p(x),y = q(x)

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (supondo xneq0), obtemos
y' + 2x,y = x - 1 + 1x
Agora p(x)=2/x e q(x)=x - 1 + 1/x.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = exp(2ln|x|) = x^2

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão pela mu(x)=x^2:
x^2,y' + 2x,y = x^3 - x^2 + x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^2,y, ou seja,
(x^2,y)' = x^3 - x^2 + x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x,
integral (x^2,y)',dx = integral l(x^3 - x^2 + xr),dx Longrightarrow x^2,y = x^44 - x^33 + x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para finalizar, isolamos y dividindo por x^2:
y = 1x^2l(x^44 - x^33 + x^22 + Cr) = x^24 - x3 + 12 + C,x^-2

Resposta

boxedy(x) = x^24 - x3 + 12 + Cx^2,
com C constante arbitrária.

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