J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k!2^k+2

Passo 1

Nesse exercício, a gente quer analisar a convergência da série de termos gerais ak = k!2^k+2. O conteúdo é testes de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

O Teste da Razão diz que, para uma série de termos positivos sum ak, se a gente definir
L = limktoinfty ak+1ak,
e tiver L<1 a série converge, se L>1 a série diverge, e se L=1 o teste não dá conclusão.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1)!2^k+3k!2^k+2 = (k+1)!2^k+3 cdot 2^k+2k! = k+12
Em seguida, o limite dessa razão é
limktoinfty k+12 = +infty

Passo 4

Como o limite L = +infty > 1, pelo Teste da Razão a série diverge. Você pode pensar que, para ficar convergente, a taxa de crescimento dos termos teria que cair rápido o suficiente, mas aqui ela cresce demais.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão, pois o limite da razão entre termos consecutivos é +infty > 1.

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