Encontre uma equação da tangente da curva no ponto dado
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da tangente da curva definida pelas equações paramétricas $ x = 1 + \ln t $ e $ y = t^{-1} + 2 $ no ponto onde $ t = e $. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a ideia de derivadas para achar a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto na curva quando $ t = e $. Isso significa substituir $ t $ por $ e $ nas equações de $ x $ e $ y $:
Sabemos que $ \ln e = 1 $ e $ e^{-1} = \frac{1}{e} $, então:
Portanto, o ponto de tangência é $ (2, \frac{1}{e} + 2) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada $ \frac{dy}{dx} $ para determinar a inclinação da tangente nesse ponto. Como temos $ x $ e $ y $ em função de $ t $, usamos a regra da cadeia para derivadas paramétricas:
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Passo 4
Calculando $ \frac{dx}{dt} $:
Calculando $ \frac{dy}{dt} $:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, substituímos $ t = e $ na expressão da derivada para achar a inclinação no ponto:
Então, a inclinação da tangente nesse ponto é $ -\frac{1}{e} $.
Resposta
A equação da tangente à curva no ponto $ (2, \frac{1}{e} + 2) $ é:
Simplificando, temos:
Então, a equação final da tangente é: