Encontre uma equação da tangente da curva no ponto dado x=1+ln t, y=t^-1+2; para t=e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da tangente da curva definida pelas equações paramétricas $ x = 1 + \ln t $ e $ y = t^{-1} + 2 $ no ponto onde $ t = e $. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a ideia de derivadas para achar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto na curva quando $ t = e $. Isso significa substituir $ t $ por $ e $ nas equações de $ x $ e $ y $:
t = e
t
Sabemos que $ \ln e = 1 $ e $ e^{-1} = \frac{1}{e} $, então:
e
x
Portanto, o ponto de tangência é $ (2, \frac{1}{e} + 2) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada $ \frac{dy}{dx} $ para determinar a inclinação da tangente nesse ponto. Como temos $ x $ e $ y $ em função de $ t $, usamos a regra da cadeia para derivadas paramétricas:
dydx
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.

Passo 4

Calculando $ \frac{dx}{dt} $:
dxdt
Calculando $ \frac{dy}{dt} $:
x = 1 + ln t Rightarrow dxdt = 1t
Então, a derivada fica:
dydt

Passo 5

Agora, substituímos $ t = e $ na expressão da derivada para achar a inclinação no ponto:
t = e
Então, a inclinação da tangente nesse ponto é $ -\frac{1}{e} $.

Resposta

A equação da tangente à curva no ponto $ (2, \frac{1}{e} + 2) $ é:
(2, 1e + 2)
Simplificando, temos:
y = -1e(x - 2) + 1e + 2
Então, a equação final da tangente é:
y = -1ex + 2e + 1e + 2 = -1ex + 3e + 2

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