Dada a curva x(t)=sen^2 t, y(t)=cos ^2 t:
Encontre onde ela é côncava para baixo e onde ela é côncava para cima.
Dica: y^prime prime(x)=x^prime(t) y^prime prime(t)-x^prime prime(t) y^prime(t)x^prime(t)^3.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
;x(t)=sin^2 t, y(t)=cos^2 t
e pede os intervalos em que ela é côncava para cima ou para baixo em termos de x. O conteúdo é “curvatura” ou “concavidade” de curva implícita y(x) obtida via derivadas paramétricas. Vamos usar a dica
y''(x)=x'(t),y''(t)-x''(t),y'(t)l(x'(t)r)^3

Passo 2

Calculamos as derivadas de primeira e segunda ordem em relação a t:
x'(t)=ddtl(sin^2 tr)=2sin tcos t=sin2t,
y'(t)=ddtl(cos^2 tr)=-2cos tsin t=-sin2t,
x''(t)=ddtl(sin2tr)=2cos2t,
y''(t)=ddtl(-sin2tr)=-2cos2t

Passo 3

Substituindo na fórmula da dica:
y''(x) =x',y''-x'',y'(x')^3 =sin2tcdot(-2cos2t)-2cos2tcdot(-sin2t)(sin2t)^3 =-2sin2tcos2t+2cos2tsin2t(sin2t)^3 =0
Ou seja, sempre que x'(t)neq0 temos y''(x)=0.

Passo 4

O fato de y''(x)=0 mostra que y como função de x é linear. De fato, note que
cos^2 t=1-sin^2 tLongrightarrow y=1 - x,
uma reta de coeficiente angular -1. Reta não tem concavidade.

Resposta

A curva é uma reta, logo não é côncava nem para cima nem para baixo em nenhum ponto (exceto nas descontinuidades de derivada, quando sin2t=0, mas aí não se define concavidade).

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