Dada a curva
:
Encontre onde ela é côncava para baixo e onde ela é côncava para cima.
Dica:
.
Encontre onde ela é côncava para baixo e onde ela é côncava para cima.
Dica:
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede os intervalos em que ela é côncava para cima ou para baixo em termos de
. O conteúdo é “curvatura” ou “concavidade” de curva implícita
obtida via derivadas paramétricas. Vamos usar a dica
Passo 2
Calculamos as derivadas de primeira e segunda ordem em relação a
:
Passo 3
Substituindo na fórmula da dica:
Ou seja, sempre que
temos
.
Passo 4
O fato de
mostra que
como função de
é linear. De fato, note que
uma reta de coeficiente angular
. Reta não tem concavidade.
Resposta
A curva é uma reta, logo não é côncava nem para cima nem para baixo em nenhum ponto (exceto nas descontinuidades de derivada, quando
, mas aí não se define concavidade).