Dentre todos os vetores unitários do plano cartesiano xy, qual è aquele, segundo o qual a derivada direcional da função f: R^2 R, definida por f(x, y)=y-xx^2+y^2 no ponto (1,1) é a maior possivel? (25 pontos)
a) lang<=raiz22,-raiz22rang<=
b) lang<=-raiz22, raiz22rang<=
c) lang<= 1,0rang<=
d) lang<=-1,0rang<=
e) lang<= 0,-1rang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar, entre todos os vetores unitários no plano cartesiano xy , aquele que, no ponto (1,1) , faz com que a derivada direcional da função f(x, y) = y - xx^2 + y^2 seja a maior possível. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e vetores gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função f na direção de um vetor unitário u = lang<= u1, u2 rang<= é dada por:
Du f = nabla f cdot u
Onde nabla f é o vetor gradiente de f .

Passo 3

O vetor gradiente nabla f aponta na direção de maior aumento da função, e a derivada direcional nessa direção é a máxima derivada possível. Portanto, para encontrar o vetor unitário que maximiza Du f , precisamos encontrar a direção do vetor gradiente no ponto (1,1) .

Passo 4

Vamos calcular o vetor gradiente nabla f . O gradiente é composto pelas derivadas parciais de f em relação a x e y :
nabla f = lang<= partial fpartial x, partial fpartial y rang<=
Calculando as derivadas:
partial fpartial x = -1 (x^2 + y^2) - (y - x)(2x)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 - 2x(y - x)(x^2 + y^2)^2
partial fpartial y = 1 (x^2 + y^2) - (y - x)(2y)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2y(y - x)(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1,1) :
Primeiro, calcule x^2 + y^2 = 1^2 + 1^2 = 2 .
Para partial fpartial x :
-1 times 2 - 2 times 1 times (1 - 1) = -2 - 0 = -2
Então,
partial fpartial x = -22^2 = -24 = -12
Para partial fpartial y :
2 - 2 times 1 times (1 - 1) = 2 - 0 = 2
Então,
partial fpartial y = 24 = 12

Passo 6

Assim, o vetor gradiente no ponto (1,1) é:
nabla f(1,1) = lang<= -12, 12 rang<=

Passo 7

Para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, vamos normalizar nabla f(1,1) . Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
|nabla f| = raiz(-12)^2 + (12)^2 = raiz14 + 14 = raiz24 = raiz22

Passo 8

Agora, o vetor unitário na direção do gradiente é:
u = nabla f|nabla f| = lang<= -12, 12 rang<=raiz22 = lang<= -1raiz2, 1raiz2 rang<= = lang<= -raiz22, raiz22 rang<=

Resposta

A resposta correta é a alternativa b) lang<= -raiz22, raiz22 rang<= .

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