Dentre todos os vetores unitários do plano cartesiano
, qual è aquele, segundo o qual a derivada direcional da função
, definida por
no ponto
é a maior possivel? (25 pontos)
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar, entre todos os vetores unitários no plano cartesiano
, aquele que, no ponto
, faz com que a derivada direcional da função
seja a maior possível. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e vetores gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Onde
é o vetor gradiente de
.
Passo 3
O vetor gradiente
aponta na direção de maior aumento da função, e a derivada direcional nessa direção é a máxima derivada possível. Portanto, para encontrar o vetor unitário que maximiza
, precisamos encontrar a direção do vetor gradiente no ponto
.
Passo 4
Vamos calcular o vetor gradiente
. O gradiente é composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Primeiro, calcule
.
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Passo 6
Assim, o vetor gradiente no ponto
é:
Passo 7
Para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, vamos normalizar
. Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Passo 8
Agora, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Resposta
A resposta correta é a alternativa b)
.