Quais das seqüências an convergem e quais divergem ? Para tal, ache o limite de cada seqüência : (neste item, ainda não estamos com uma série)
an=(1+9n)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por an = (1 + 9n)^n . A questão pede para descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme n aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e a famosa constante e . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante do cálculo: limn to infty (1 + kn)^n = e^k , onde e é aproximadamente 2,71828. Essa é uma definição fundamental da constante e e é muito útil para calcular limites desse tipo.

Passo 3

No nosso caso, temos an = (1 + 9n)^n . Comparando com a fórmula que lembramos, vemos que k = 9 . Então, podemos aplicar diretamente a fórmula para encontrar o limite.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
limn to infty (1 + 9n)^n = e^9
Isso significa que conforme n fica cada vez maior, an se aproxima de e^9 .

Resposta

A sequência an converge, e o seu limite é e^9 .

Exercícios relacionados