Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem, encontre a soma das que convergem:
sumn=1^+infty (-1)^n+1 10^3 n5^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^+infty (-1)^n+110^3n5^n
converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar sua soma. O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries (série geométrica, teste da divergência e teste da razão).

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para identificá-lo como série geométrica:
an = (-1)^n+110^3n5^n = (-1)^n+1l(10^35r)^n = (-1)^n+1(200)^n
Logo este é o primeiro termo a1 = (-1)^2,200^1 = 200 e a razão
r = an+1an = (-1)^n+2200^n+1(-1)^n+1200^n = -200

Passo 3

Aplicamos o teste da divergência (condição necessária):
limntoinftyan = limntoinfty(-1)^n+1200^n
não existe nem é zero (o módulo cresce sem limite). Portanto a série diverge imediatamente porque seu termo geral não tende a zero.

Passo 4

Opcionalmente, pelo teste da razão:
limntoinftyl|an+1anr| = |r| = 200 >1,
o que confirma a divergência.

Resposta

A série diverge, logo não possui soma.

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