Dada a curva polar r(theta)=cos 2 theta, pi4 <= theta <= 3pi4, encontre onde a reta tangente é vertical e onde ela é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos onde a reta tangente à curva polar r(theta) = cos 2theta é vertical e onde é horizontal, no intervalo pi4 <= theta <= 3pi4 . Vamos usar conceitos de derivadas em coordenadas polares para achar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para curvas em coordenadas polares r(theta) , as coordenadas cartesianas x e y são dadas por:
x = r(theta) cdot costheta
y = r(theta) cdot sintheta
No nosso caso, r(theta) = cos 2theta , então:
x = cos 2theta cdot costheta
y = cos 2theta cdot sintheta
Para encontrar a reta tangente, precisamos das derivadas dydtheta e dxdtheta .

Passo 3

Vamos calcular dxdtheta :
dxdtheta = ddtheta [cos 2theta cdot costheta] = -2sin 2theta cdot costheta - cos 2theta cdot sintheta
Simplificando:
dxdtheta = -2sin 2theta costheta - sintheta cos 2theta

Passo 4

Agora, vamos calcular dydtheta :
dydtheta = ddtheta [cos 2theta cdot sintheta] = -2sin 2theta cdot sintheta + cos 2theta cdot costheta
Simplificando:
dydtheta = -2sin 2theta sintheta + costheta cos 2theta

Passo 5

Para encontrar onde a reta tangente é vertical, precisamos que dxdtheta = 0 e dydtheta neq 0 .
Igualando dxdtheta = 0 :
-2sin 2theta costheta - sintheta cos 2theta = 0
Resolvendo essa equação para theta no intervalo dado, encontramos que a reta tangente é vertical em theta = pi4 e theta = 3pi4 .
Para encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos que dydtheta = 0 e dxdtheta neq 0 .
Igualando dydtheta = 0 :
-2sin 2theta sintheta + costheta cos 2theta = 0
Resolvendo essa equação para theta no intervalo dado, verificamos que não há valores de theta que satisfaçam essa condição dentro do intervalo pi4 <= theta <= 3pi4 .

Resposta

A reta tangente à curva r(theta) = cos 2theta é vertical nos pontos correspondentes a theta = pi4 e theta = 3pi4 . Não há pontos no intervalo dado onde a reta tangente seja horizontal.

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