Dada a curva polar
, encontre onde a reta tangente é vertical e onde ela é horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos onde a reta tangente à curva polar
é vertical e onde é horizontal, no intervalo
. Vamos usar conceitos de derivadas em coordenadas polares para achar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para curvas em coordenadas polares
, as coordenadas cartesianas
e
são dadas por:
No nosso caso,
, então:
Para encontrar a reta tangente, precisamos das derivadas
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar onde a reta tangente é vertical, precisamos que
e
.
Igualando
:
Resolvendo essa equação para
no intervalo dado, encontramos que a reta tangente é vertical em
e
.
Para encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos que
e
.
Igualando
:
Resolvendo essa equação para
no intervalo dado, verificamos que não há valores de
que satisfaçam essa condição dentro do intervalo
.
Resposta
A reta tangente à curva
é vertical nos pontos correspondentes a
e
. Não há pontos no intervalo dado onde a reta tangente seja horizontal.