Encontre a equação do plano que contém as retas r1: x=t, y=-t, z=t e r2: x=2+t, y=3-t, z=1+t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica no espaço! A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém as retas r1: x = t, , y = -t, , z = t e r2: x = 2 + t, , y = 3 - t, , z = 1 + t . Para isso, vamos precisar entender como determinar uma equação de plano a partir de duas retas que ele inclui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor de uma reta é o vetor que mostra a direção em que a reta vai. Para a reta r1 , olhando as equações paramétricas, vemos que quanto t varia, os componentes de direção são (1, -1, 1) . Então, o vetor diretor de r1 é:
u = 1 -1 1
Para a reta r2 , de maneira semelhante, o vetor diretor também é:
v = 1 -1 1

Passo 3

Observamos que ambos os vetores diretores u e v são iguais, o que significa que as retas r1 e r2 são paralelas. Mesmo sendo paralelas, como elas têm pontos diferentes, podemos sim encontrar um plano que as contenha.

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que seja perpendicular ao plano. Para isso, vamos precisar de outro vetor que esteja no plano. Podemos pegar um ponto de uma reta e outro ponto da outra reta para formar esse vetor adicional.
Vamos escolher o ponto P na reta r1 quando t = 0 :
P = (0, 0, 0)
E o ponto Q na reta r2 quando t = 0 :
Q = (2, 3, 1)
O vetor que liga P a Q é:
PQ = 2 - 0 3 - 0 1 - 0 = 2 3 1

Passo 5

Agora temos dois vetores que estão no plano: u = (1, -1, 1) e PQ = (2, 3, 1) . Para encontrar o vetor normal ao plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
n = u times PQ = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & 3 & 1
Calculando o determinante:
n = i cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 3) - j cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 2) + k cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot 2)
n = i cdot (-1 - 3) - j cdot (1 - 2) + k cdot (3 + 2)
n = i cdot (-4) - j cdot (-1) + k cdot 5
n = (-4, 1, 5)

Passo 6

Com o vetor normal n = (-4, 1, 5) e um ponto no plano, como o ponto P = (0, 0, 0) , podemos escrever a equação do plano usando a forma:
n cdot ( r - P ) = 0
Isso significa:
-4(x - 0) + 1(y - 0) + 5(z - 0) = 0
-4x + y + 5z = 0

Resposta

A equação do plano que contém as retas r1 e r2 é:
-4x + y + 5z = 0

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