Parametrize a curva interseção entre o cilindro x^{2}+y^{2}=4 e o plano z=x.

Passo 1

O enunciado pede: parametrizar a curva de interseção entre as superfícies dadas pelas equações x^{2}+y^{2}=4 (um cilindro) e z=x (um plano).
Informações fornecidas:
  • A curva está contida em todos os pontos (x,y,z) tais que x^{2}+y^{2}=4 e z=x.
  • Não há outras restrições explícitas; espera-se uma parametrização que percorra toda a curva.

Passo 2

Idéia básica (sem ainda escrever a resposta): a equação x^{2}+y^{2}=4 descreve um círculo de raio 2 no plano z= constante (ou seja, projeção no plano xy). Uma forma padrão e simples de parametrizar um círculo de raio 2 no plano xy é usar funções trigonométricas:
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t,
onde t é o parâmetro que representa o ângulo polar medido em radianos. Explicando por que isso funciona: para qualquer t,
x^{2}+y^{2}=(2\cos t)^{2}+(2\sin t)^{2}=4(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=4,
porque \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Assim essa escolha garante que a primeira equação é satisfeita para todo t.

Passo 3

Agora imponho a condição do plano z=x. Como já escolhi x=2\cos t, basta tomar
z=x=2\cos t.
Isso garante que a coordenada z satisfaz a equação do plano para cada valor de t.

Passo 4

Juntando as três coordenadas obtemos a parametrização da curva. Em forma vetorial:
\mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\;2\sin t,\;2\cos t\rangle.
Em forma de componentes escalares:
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad z(t)=2\cos t.

Passo 5

Dominio do parâmetro e propriedades: escolher t\in[0,2\pi) percorre a curva uma vez inteira (a parametrização é 2\pi-periódica, então qualquer intervalo de comprimento 2\pi funciona). A orientação é contra-horária vista do eixo +z. Também vale observar que \mathbf{r}(t+2\pi)=\mathbf{r}(t), portanto a curva é fechada.

Passo 6

Verificação rápida (checando as duas equações para confirmar): usando a parametrização,
x(t)^{2}+y(t)^{2}=(2\cos t)^{2}+(2\sin t)^{2}=4,
e
z(t)=2\cos t=x(t),
portanto ambas as equações são satisfeitas para todo t. Alternativas: pode-se trocar t por outro parâmetro (por exemplo -t ou t+t_{0}) para mudar a orientação ou o ponto inicial, mas a forma essencial permanece a mesma.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\;2\sin t,\;2\cos t\rangle,\quad t\in[0,2\pi)

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