Parametrize a curva interseção entre o cilindro
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede: parametrizar a curva de interseção entre as superfícies dadas pelas equações
(um cilindro) e
(um plano).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A curva está contida em todos os pontos
tais que e . - Não há outras restrições explícitas; espera-se uma parametrização que percorra toda a curva.
Passo 2
Idéia básica (sem ainda escrever a resposta): a equação
descreve um círculo de raio
no plano
constante (ou seja, projeção no plano
). Uma forma padrão e simples de parametrizar um círculo de raio
no plano
é usar funções trigonométricas:
onde
é o parâmetro que representa o ângulo polar medido em radianos. Explicando por que isso funciona: para qualquer
,
porque
. Assim essa escolha garante que a primeira equação é satisfeita para todo
.
Passo 3
Agora imponho a condição do plano
. Como já escolhi
, basta tomar
Isso garante que a coordenada
satisfaz a equação do plano para cada valor de
.
Passo 4
Juntando as três coordenadas obtemos a parametrização da curva. Em forma vetorial:
Em forma de componentes escalares:
Passo 5
Dominio do parâmetro e propriedades: escolher
percorre a curva uma vez inteira (a parametrização é
-periódica, então qualquer intervalo de comprimento
funciona). A orientação é contra-horária vista do eixo
. Também vale observar que
, portanto a curva é fechada.
Passo 6
Verificação rápida (checando as duas equações para confirmar): usando a parametrização,
e
portanto ambas as equações são satisfeitas para todo
. Alternativas: pode-se trocar
por outro parâmetro (por exemplo
ou
) para mudar a orientação ou o ponto inicial, mas a forma essencial permanece a mesma.