Dada a e.d.o. (2 x-y+4) d y+(x-2 y+5) d x=0, achar alpha e beta para que a mudança de variáveis x=u+alpha e y=v+beta transforme a e.d.o. em homogênea.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x - y + 4),dy + (x - 2y + 5),dx = 0
e pede para encontrar constantes alpha e beta tais que, ao definir
x = u + alpha, y = v + beta,
a equação resultante seja homogênea (isto é, só tenha termos de primeiro grau em u e v). Vamos usar a técnica de translação de variáveis para anular os termos constantes.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y) = x - 2y + 5, N(x,y) = 2x - y + 4

Passo 3

Fazendo a substituição x = u + alpha e y = v + beta, temos
M = (u + alpha) - 2(v + beta) + 5 = u - 2v + (alpha - 2beta + 5),
N = 2(u + alpha) - (v + beta) + 4 = 2u - v + (2alpha - beta + 4)
A equação em u,v fica
l(u - 2v + (alpha - 2beta + 5)r),du + l(2u - v + (2alpha - beta + 4)r),dv =0

Passo 4

Para que a equação seja homogênea de grau 1 em u,v, os termos constantes devem desaparecer. Assim impomos
alpha - 2beta + 5 = 0, 2alpha - beta + 4 = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema
alpha - 2beta + 5 = 0, 2alpha - beta + 4 = 0,
da segunda equação vem beta = 2alpha + 4. Substituindo na primeira:
alpha - 2(2alpha + 4) + 5 = -3alpha -3 = 0 implies alpha = -1,
e então
beta = 2(-1) + 4 = 2.

Resposta

alpha = -1 e beta = 2.

Exercícios relacionados