Dada a e.d.o. , achar e para que a mudança de variáveis e transforme a e.d.o. em homogênea.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar constantes e tais que, ao definir
a equação resultante seja homogênea (isto é, só tenha termos de primeiro grau em e ). Vamos usar a técnica de translação de variáveis para anular os termos constantes.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação no formato
onde
Passo 3
Fazendo a substituição e , temos
A equação em fica
Passo 4
Para que a equação seja homogênea de grau 1 em , os termos constantes devem desaparecer. Assim impomos
Passo 5
Resolvendo o sistema
da segunda equação vem beta = 2alpha + 4. Substituindo na primeira: