Resolva as equações lineares:
y^prime-3 x^2 y=x^2

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - 3x^2y = x^2
Isso é um ODE linear do tipo y' + P(x)y = Q(x), e vamos usar fator integrante pra encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro identificamos
P(x) = -3x^2,
Q(x) = x^2

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -3x^2,dx = e^-x^3

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x). O lado esquerdo vira derivada do produto:
ddxl(y,e^-x^3r) = x^2,e^-x^3

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-x^3 = integral x^2,e^-x^3,dx + C
Para calcular integral x^2 e^-x^3dx, use a substituição u = -x^3, daí du = -3x^2dx e x^2dx = -tfrac13du:
integral x^2 e^-x^3dx = -tfrac13integral e^udu = -tfrac13e^u + C = -tfrac13e^-x^3 + C

Passo 6

Substituindo de volta e isolando y:
y,e^-x^3 = -tfrac13e^-x^3 + C
Multiplicando por e^x^3:
y = -tfrac13 + C,e^x^3
Isso nos dá a solução geral da equação.

Passo 7

Ao longo do processo usamos a teoria de equações lineares de primeira ordem e o método de fator integrante pra transformar a equação em uma forma facilmente integrável.

Resposta

y(x) = C,e{x3} - \tfrac{1}{3}

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