Resolva as Equações Diferenciais:
(sin (2 x)-y) d x+(12 raizy-x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(sin(2x)-y),dx + l(12raizy-xr),dy = 0
Estamos diante de uma equação exata, pois existe uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M(x,y) = sin(2x)-y e partial Fpartial y = N(x,y) = 12raizy-x
Para resolver, vamos verificar a exatidão e construir F.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
partial Mpartial y = partialpartial y(sin(2x)-y) = -1, partial Npartial x = partialpartial xl(12raizy-xr) = -1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construímos F(x,y) integrando M em relação a x:
F(x,y) = integral(sin(2x)-y),dx = integralsin(2x),dx - integral y,dx = -tfrac12cos(2x) - x,y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos F em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = -x + h'(y) overset!= 12raizy - x Longrightarrow h'(y) = 12raizy
Integrando em y:
h(y) = integral 12raizy,dy = raizy + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em F e recolhendo a constante de integração geral C, obtemos a solução implícita:
F(x,y) = -tfrac12cos(2x) - x,y + raizy = C

Resposta

-tfrac12cos(2x);-;x,y;+;raizy ;=; C

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