Dada a densidade de cargas em coordenadas esféricas, \rho=\frac{\rho_{0}}{r / r_{0}} e^{-r / r_{0}} \cos ^{2} \varphi. Calcule a quantidade nos volumes esféricos fechados:
r=r_{0};

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de carga em coordenadas esféricas
\displaystyle \rho=\frac{\rho_{0}}{r/r_{0}} e^{-r/r_{0}} \cos^{2}\varphi,
e pede a quantidade de carga contida no volume esférico fechado de raio r=r_{0}.
Informações relevantes e hipóteses que vou usar (para ficar tudo claro):
  • Interpreto a expressão \frac{\rho_{0}}{r/r_{0}} como \rho_{0}\,\frac{r_{0}}{r}. Logo a densidade pode ser escrita como \rho(r,\varphi)=\rho_{0}\,\frac{r_{0}}{r}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi.
  • Vou usar a convenção de coordenadas esféricas em que:
    • r é a distância radial ( 0\le r\le r_{0}),
    • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z ( 0\le\varphi\le\pi),
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy ( 0\le\theta\le 2\pi).
      Se a sua convenção for diferente (por exemplo, trocando \varphi e \theta), o procedimento é análogo; basta trocar os limites e a variável angular apropriada.
  • A quantidade de carga total Q no interior da esfera de raio r_{0} é obtida pela integral de volume Q=\iiint_{V} \rho(r,\varphi)\,dV.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a fórmula do elemento de volume em coordenadas esféricas — isso é essencial para montar a integral.
Em coordenadas esféricas (com a convenção acima), o elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\;dr\;d\varphi\;d\theta.
Explicando por que: pense numa pequena variação \Delta r radial, uma pequena variação angular \Delta\varphi no sentido polar (que corresponde a um arco de comprimento r\,\Delta\varphi) e uma pequena variação \Delta\theta no sentido azimutal (um arco de comprimento r\sin\varphi\,\Delta\theta). O volume do paralelepípedo curvo aproximado é \Delta r \cdot (r\,\Delta\varphi) \cdot (r\sin\varphi\,\Delta\theta) = r^{2}\sin\varphi\,\Delta r\,\Delta\varphi\,\Delta\theta. No limite, isso dá dV acima.
Portanto, a integral triple para Q ficará (com os limites standard):
Q=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=0}^{r_{0}} \rho(r,\varphi)\; r^{2}\sin\varphi\;dr\;d\varphi\;d\theta.

Passo 3

Substituo \rho(r,\varphi)=\rho_{0}\,\dfrac{r_{0}}{r}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi dentro da integral e simplifico o fator r^{2} com o 1/r:
Escrevo o integrando:
\rho(r,\varphi)\,r^{2}\sin\varphi = \rho_{0}\,\frac{r_{0}}{r}\,e^{-r/r_{0}}\cos^{2}\varphi \cdot r^{2}\sin\varphi = \rho_{0}\,r_{0}\, r \, e^{-r/r_{0}} \cos^{2}\varphi \sin\varphi.
Então a integral separa naturalmente em parte radial e parte angular:
Q = \rho_{0}\,r_{0} \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right) \left(\int_{0}^{\pi} \cos^{2}\varphi \sin\varphi\; d\varphi\right) \left(\int_{0}^{r_{0}} r\, e^{-r/r_{0}}\; dr\right).
Aqui expliquei por que a integral separa: o integrando é produto de uma função que depende só de \theta (na verdade é constante), de uma função que depende só de \varphi, e de uma função que depende só de r. Portanto o integral triple é o produto dos três integrais unidimensionais.

Passo 4

Calculo a integral azimutal (em \theta):
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Isso é simples: a densidade não depende de \theta, então só pega o comprimento do intervalo angular.

Passo 5

Calculo a integral angular polar
I_{\varphi}=\int_{0}^{\pi} \cos^{2}\varphi \sin\varphi\; d\varphi.
Explico o método: é conveniente usar a substituição u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\;d\varphi, ou \sin\varphi\;d\varphi=-du. Quando \varphi varia de 0 a \pi, u=\cos\varphi varia de 1 a -1.
Aplicando a substituição:
I_{\varphi}=\int_{\varphi=0}^{\pi} \cos^{2}\varphi \sin\varphi\; d\varphi = \int_{u=1}^{-1} u^{2}(-du) = \int_{u=-1}^{1} u^{2}\; du.
Agora calculo a integral de u^{2}:
\int_{-1}^{1} u^{2}\;du = 2\int_{0}^{1} u^{2}\;du = 2\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto
I_{\varphi}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Calculo a integral radial
I_{r}=\int_{0}^{r_{0}} r\, e^{-r/r_{0}}\; dr.
Duas maneiras: integração por partes ou mudança de variável adimensional. Vou usar a mudança x=\dfrac{r}{r_{0}} (isso deixa as contas sem falar de r_{0} toda hora). Então r=r_{0}x e dr=r_{0}\,dx. Quando r vai de 0 a r_{0}, x vai de 0 a 1. Assim
I_{r}=\int_{0}^{1} (r_{0}x)\, e^{-x}\,(r_{0}\,dx) = r_{0}^{2}\int_{0}^{1} x e^{-x}\; dx.
Agora calculo \int_{0}^{1} x e^{-x}\; dx. Uso a primitiva de x e^{-x}: uma primitiva é -e^{-x}(x+1) (pode checar derivando). Então
\int_{0}^{1} x e^{-x}\; dx = \left[-e^{-x}(x+1)\right]_{0}^{1} = \big(-e^{-1}\cdot 2\big) - \big(-e^{0}\cdot 1\big) = -\frac{2}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}.
Portanto
I_{r} = r_{0}^{2}\left(1 - \frac{2}{e}\right).

Passo 7

Agora reúno todos os fatores. Lembre que tínhamos
Q = \rho_{0}\,r_{0} \cdot \Big(\text{integral em }\theta\Big) \cdot \Big(\text{integral em }\varphi\Big) \cdot \Big(\text{integral em }r\Big).
Substituindo os resultados:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,\qquad \int_{0}^{\pi} \cos^{2}\varphi \sin\varphi\; d\varphi = \frac{2}{3},\qquad \int_{0}^{r_{0}} r e^{-r/r_{0}}\; dr = r_{0}^{2}\Big(1-\frac{2}{e}\Big).
Multiplicando:
Q = \rho_{0}\,r_{0} \cdot 2\pi \cdot \frac{2}{3} \cdot r_{0}^{2}\Big(1-\frac{2}{e}\Big).
Simplificando os números:
2\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3},
e os fatores em r_{0}:
\rho_{0}\,r_{0}\cdot r_{0}^{2} = \rho_{0}\, r_{0}^{3}.
Logo
Q = \frac{4\pi}{3}\,\rho_{0}\, r_{0}^{3}\left(1-\frac{2}{e}\right).

Resposta

Q = \frac{4\pi}{3}\,\rho_{0}\, r_{0}^{3}\left(1-\frac{2}{e}\right)

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