Dada a densidade de cargas em coordenadas esféricas,
. Calcule a quantidade nos volumes esféricos fechados:
;
Passo 1
O enunciado fornece a densidade de carga em coordenadas esféricas
e pede a quantidade de carga contida no volume esférico fechado de raio
.
Informações relevantes e hipóteses que vou usar (para ficar tudo claro):
- Interpreto a expressão
como . Logo a densidade pode ser escrita como - Vou usar a convenção de coordenadas esféricas em que:
-
é a distância radial ( ), -
é o ângulo polar medido a partir do eixo ( ), -
é o ângulo azimutal no plano ( ).
Se a sua convenção for diferente (por exemplo, trocandoe ), o procedimento é análogo; basta trocar os limites e a variável angular apropriada.
-
- A quantidade de carga total
no interior da esfera de raio é obtida pela integral de volume
Passo 2
Vou lembrar e explicar a fórmula do elemento de volume em coordenadas esféricas — isso é essencial para montar a integral.
Em coordenadas esféricas (com a convenção acima), o elemento de volume é
Explicando por que: pense numa pequena variação
radial, uma pequena variação angular
no sentido polar (que corresponde a um arco de comprimento
) e uma pequena variação
no sentido azimutal (um arco de comprimento
). O volume do paralelepípedo curvo aproximado é
. No limite, isso dá
acima.
Portanto, a integral triple para
ficará (com os limites standard):
Passo 3
Substituo
dentro da integral e simplifico o fator
com o
:
Escrevo o integrando:
Então a integral separa naturalmente em parte radial e parte angular:
Aqui expliquei por que a integral separa: o integrando é produto de uma função que depende só de
(na verdade é constante), de uma função que depende só de
, e de uma função que depende só de
. Portanto o integral triple é o produto dos três integrais unidimensionais.
Passo 4
Calculo a integral azimutal (em
):
Isso é simples: a densidade não depende de
, então só pega o comprimento do intervalo angular.
Passo 5
Calculo a integral angular polar
Explico o método: é conveniente usar a substituição
. Então
, ou
. Quando
varia de
a
,
varia de
a
.
Aplicando a substituição:
Agora calculo a integral de
:
Portanto
Passo 6
Calculo a integral radial
Duas maneiras: integração por partes ou mudança de variável adimensional. Vou usar a mudança
(isso deixa as contas sem falar de
toda hora). Então
e
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Agora calculo
. Uso a primitiva de
: uma primitiva é
(pode checar derivando). Então
Portanto
Passo 7
Agora reúno todos os fatores. Lembre que tínhamos
Substituindo os resultados:
Multiplicando:
Simplificando os números:
e os fatores em
:
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