Dada a densidade elétrica
, determine o fluxo elétrico que passa pela superfície aberta
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma densidade elétrica dada por
, e precisamos calcular o fluxo elétrico que passa por uma superfície aberta definida por
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de fluxo elétrico na eletrostática, que envolve cálculo de integrais de campo vetorial sobre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico
através de uma superfície
é dado pela integral da densidade elétrica
sobre a superfície:
Onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
A superfície em questão é definida por
e
,
. Isso significa que é uma parede vertical paralela ao plano yz, fixa em
. Para calcular o fluxo, precisamos encontrar o vetor normal
dessa superfície.
Passo 4
Como a superfície está fixa em
, a direção normal é ao longo do eixo y. Como estamos olhando para o lado onde
aumenta, o vetor normal é
. Então,
.
Passo 5
Agora, vamos pegar a densidade elétrica na superfície
. Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Calculemos o produto escalar
. Como
:
Passo 7
Agora, configuramos a integral para o fluxo:
Como a superfície está em
, os limites de integração são
de 0 a 1 e
de 0 a 1.
Passo 8
A integral fica então:
Passo 9
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo elétrico que passa pela superfície é
.