Dada a densidade elétrica D=-4 x y z i+3 x^3 y^wed>= 2 z j C / m^2, determine o fluxo elétrico que passa pela superfície aberta 0< x<1, y=1 e 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma densidade elétrica dada por D = -4xyz,i + 3x^3y^2z,j, e precisamos calcular o fluxo elétrico que passa por uma superfície aberta definida por 0 < x < 1, y = 1 e 0 < z < 1. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de fluxo elétrico na eletrostática, que envolve cálculo de integrais de campo vetorial sobre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico Phi através de uma superfície S é dado pela integral da densidade elétrica D sobre a superfície:
Phi = integral duplaS D cdot n, dS
Onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

A superfície em questão é definida por y = 1 e 0 < x < 1, 0 < z < 1. Isso significa que é uma parede vertical paralela ao plano yz, fixa em y = 1. Para calcular o fluxo, precisamos encontrar o vetor normal n dessa superfície.

Passo 4

Como a superfície está fixa em y = 1, a direção normal é ao longo do eixo y. Como estamos olhando para o lado onde y aumenta, o vetor normal é j. Então, n = j.

Passo 5

Agora, vamos pegar a densidade elétrica na superfície y = 1. Substituindo y = 1 na expressão de D:
D = -4x(1)z,i + 3x^3(1)^2z,j = -4xz,i + 3x^3z,j

Passo 6

Calculemos o produto escalar D cdot n. Como n = j:
D cdot n = (-4xz,i + 3x^3z,j) cdot j = 3x^3z

Passo 7

Agora, configuramos a integral para o fluxo:
Phi = integral duplaS 3x^3z, dS
Como a superfície está em y = 1, os limites de integração são x de 0 a 1 e z de 0 a 1.

Passo 8

A integral fica então:
Phi = integral0^1 integral0^1 3x^3z, dx, dz

Passo 9

Vamos integrar primeiro em relação a x:
integral0^1 3x^3z, dx = 3z [ x^44 ]0^1 = 3z ( 14 - 0 ) = 3z4

Passo 10

Agora, integramos em relação a z:
integral0^1 3z4, dz = 34 [ z^22 ]0^1 = 34 ( 12 - 0 ) = 38

Resposta

O fluxo elétrico que passa pela superfície é dfrac38, C cdot m^-2.

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