Usando lei de Gauss, determine qual o campo elétrico de uma esfera maciça carregada, com uma densidade volumétrica de carga elétrica não uniforme rho=r^wed>= 2 C / m^2, em um dado ponto P, no interior e no exterior da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico de uma esfera carregada. A densidade de carga elétrica dessa esfera não é constante, ela varia conforme $ \rho = r^2 , C/m^2 $. Precisamos determinar o campo elétrico em um ponto $ P $ que pode estar tanto dentro quanto fora da esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, simetria de campos elétricos e fazer integrações para encontrar a carga envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Isso significa que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $.

Passo 3

Como a distribuição de carga é simétrica e depende apenas da distância $ r $ ao centro, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio $ r $. Nessa configuração, o campo elétrico $ \vec{E} $ terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será radial.
Portanto, o lado esquerdo da equação da Lei de Gauss simplifica para:
r

Passo 4

Agora, precisamos calcular a carga encerrada $ Q_{enc} $ dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é $ \rho = r^2 $, então a carga encerrada até o raio $ r $ é:
Qenc

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^r r'^4 dr' = r'^55 g|0^r = r^55
Então,
Qenc = 4pi cdot r^55 = 4pi r^55

Passo 6

Substituindo $ Q_{enc} $ na Lei de Gauss:
Qenc
Resolvendo para $ E $:
E cdot 4pi r^2 = 4pi r^55 varepsilon0
Esse é o campo elétrico dentro da esfera ($ r < R $).

Passo 7

Agora, para o caso externo à esfera ($ r > R $), a carga encerrada $ Q_{enc} $ é a carga total da esfera. Vamos calcular:
r > R

Passo 8

Aplicando a Lei de Gauss novamente para $ r > R $:
r > R
Resolvendo para $ E $:
E cdot 4pi r^2 = 4pi R^55 varepsilon0

Resposta

O campo elétrico da esfera carregada é dado por:
E(r) = r^35, varepsilon0 & para r < R R^55, varepsilon0, r^2 & para r >= R

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