Usando lei de Gauss, determine qual o campo elétrico de uma esfera maciça carregada, com uma densidade volumétrica de carga elétrica não uniforme
, em um dado ponto
, no interior e no exterior da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico de uma esfera carregada. A densidade de carga elétrica dessa esfera não é constante, ela varia conforme $ \rho = r^2 , C/m^2 $. Precisamos determinar o campo elétrico em um ponto $ P $ que pode estar tanto dentro quanto fora da esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, simetria de campos elétricos e fazer integrações para encontrar a carga envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss, que diz:
Isso significa que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $.
Passo 3
Como a distribuição de carga é simétrica e depende apenas da distância $ r $ ao centro, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio $ r $. Nessa configuração, o campo elétrico $ \vec{E} $ terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será radial.
Portanto, o lado esquerdo da equação da Lei de Gauss simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a carga encerrada $ Q_{enc} $ dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é $ \rho = r^2 $, então a carga encerrada até o raio $ r $ é:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Então,
Passo 6
Substituindo $ Q_{enc} $ na Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Esse é o campo elétrico dentro da esfera ($ r < R $).
Passo 7
Agora, para o caso externo à esfera ($ r > R $), a carga encerrada $ Q_{enc} $ é a carga total da esfera. Vamos calcular:
Passo 8
Aplicando a Lei de Gauss novamente para $ r > R $:
Resolvendo para $ E $:
Resposta
O campo elétrico da esfera carregada é dado por: