Usando lei de Gauss, determine qual o campo elétrico de uma esfera com parte oca ( 0 ) carregada, com uma densidade volumétrica de carga elétrica uniforme, em um dado ponto P1 no interior oco, em um dado ponto P2 no interior maciço (a e em um dado ponto P3 no exterior da esfera (r>b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em três pontos diferentes de uma esfera que tem uma parte oca. A esfera tem uma densidade volumétrica de carga elétrica uniforme. Precisamos achar o campo elétrico nos seguintes pontos:
  1. P₁: Dentro da parte oca (onde 0 < r < a).
  2. P₂: No interior da parte maciça da esfera (onde a < r < b).
  3. P₃: Fora da esfera (onde r > b).
Para isso, vamos lembrar da Lei de Gauss e entender como aplicá-la em cada região.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0). Em fórmula:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Aqui, E é o campo elétrico, dA é um elemento de área da superfície fechada, e Qinterno é a carga dentro dessa superfície.

Passo 3

Vamos começar com o P₁, que está dentro da parte oca da esfera ( 0 < r < a). Nesse caso, não há carga dentro da região oca, porque toda a carga está distribuída na parte maciça ( a < r < b).
Usando a Lei de Gauss, como não há carga dentro da superfície gaussiana que passa por P₁, o fluxo elétrico é zero. Então, o campo elétrico também é zero.
E = 0 para 0 < r < a

Passo 4

Agora, vamos para o P₂, que está na parte maciça da esfera ( a < r < b). Aqui, temos uma distribuição de carga uniforme.
Primeiro, precisamos calcular a carga total dentro de uma esfera de raio r onde a < r < b. A densidade volumétrica de carga é rho, então a carga interna é:
Qinterno = rho times Volume = rho times 43 pi r^3
Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E times 4pi r^2 = rho times 43 pi r^3varepsilon0
Resolvendo para E:
E = rho r3 varepsilon0
Então, o campo elétrico em P₂ é:
E = rho r3 varepsilon0 para a < r < b

Passo 5

Por fim, vamos determinar o campo elétrico em P₃, que está fora da esfera ( r > b).
Aqui, a carga total da esfera ( Q) está envolvida. A carga total é a densidade de carga vezes o volume da parte maciça:
Q = rho times 43 pi b^3
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
oint E cdot dA = E times 4pi r^2 = Qvarepsilon0 = rho times 43 pi b^3varepsilon0
Resolvendo para E:
E = rho b^33 varepsilon0 r^2
Então, o campo elétrico em P₃ é:
E = rho b^33 varepsilon0 r^2 para r > b

Resposta

O campo elétrico da esfera com parte oca é:
  • Para 0 < r < a:
    E = 0
  • Para a < r < b:
    E = rho r3 varepsilon0
  • Para r > b:
    E = rho b^33 varepsilon0 r^2

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