Usando lei de Gauss, determine qual o campo elétrico de uma esfera com parte oca (
) carregada, com uma densidade volumétrica de carga elétrica uniforme, em um dado ponto
no interior oco, em um dado ponto
no interior maciço
e em um dado ponto
no exterior da esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em três pontos diferentes de uma esfera que tem uma parte oca. A esfera tem uma densidade volumétrica de carga elétrica uniforme. Precisamos achar o campo elétrico nos seguintes pontos:
- P₁: Dentro da parte oca (onde
). - P₂: No interior da parte maciça da esfera (onde
). - P₃: Fora da esfera (onde
).
Para isso, vamos lembrar da Lei de Gauss e entender como aplicá-la em cada região.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). Em fórmula:
Aqui,
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície fechada, e
é a carga dentro dessa superfície.
Passo 3
Vamos começar com o P₁, que está dentro da parte oca da esfera (
). Nesse caso, não há carga dentro da região oca, porque toda a carga está distribuída na parte maciça (
).
Usando a Lei de Gauss, como não há carga dentro da superfície gaussiana que passa por
, o fluxo elétrico é zero. Então, o campo elétrico também é zero.
Passo 4
Agora, vamos para o P₂, que está na parte maciça da esfera (
). Aqui, temos uma distribuição de carga uniforme.
Primeiro, precisamos calcular a carga total dentro de uma esfera de raio
onde
. A densidade volumétrica de carga é
, então a carga interna é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, o campo elétrico em
é:
Passo 5
Por fim, vamos determinar o campo elétrico em P₃, que está fora da esfera (
).
Aqui, a carga total da esfera (
) está envolvida. A carga total é a densidade de carga vezes o volume da parte maciça:
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resolvendo para
:
Então, o campo elétrico em
é:
Resposta
O campo elétrico da esfera com parte oca é:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: