Dado um campo elétrico
, determine o trabalho para mover uma carga de 1C do ponto
até o ponto
. Determine também a d.d.p
e a função escalar potencial elétrico
nesta região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um campo elétrico dado por
em volts por metro (V/m). Precisamos descobrir quanto trabalho é feito para mover uma carga de 1 Coulomb © do ponto A
até o ponto B
. Além disso, vamos encontrar a diferença de potencial elétrico
e a função potencial escalar
nessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho elétrico, potencial elétrico e integrais de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado para mover a carga de 1C de A para B. O trabalho
é dado pela integral do campo elétrico
ao longo do caminho que a carga percorre:
Como a carga
, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, precisamos escolher um caminho para integrar. Vou escolher um caminho simples: primeiro mover de A
para
, depois para
e finalmente para B
. Isso facilita a integração porque em cada segmento só uma coordenada muda.
Passo 4
Vamos calcular a integral em cada segmento:
-
De
a : - Aqui,
e , então . - O deslocamento
. - O produto escalar
. - Trabalho
.
- Aqui,
-
De
a : - Aqui,
e , então . - O deslocamento
. - O produto escalar
. - Trabalho
.
- Aqui,
-
De
a : - Aqui,
e , então . - O deslocamento
. - O produto escalar
. - Trabalho
.
- Aqui,
Passo 5
Somando os trabalhos dos três segmentos:
Então, o trabalho realizado para mover a carga de 1C de A para B é de 2 Joules.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a diferença de potencial elétrico
. Sabemos que:
Como
e
:
Então,
.
Passo 7
Por fim, vamos determinar a função potencial escalar
nessa região. Sabemos que:
Isso significa que:
Vamos integrar cada componente para encontrar
:
- Integrando
:
Integrando em relação a
:
- Integrando
:
Usando a expressão anterior para
:
Integrando em relação a
:
Então,
.
- Integrando
:
Usando a expressão atual para
:
Simplificando:
Mas,
só depende de
, então para que a equação seja válida para todos
e
, a única solução é que
é constante. Vamos chamar essa constante de
.
Então, a função potencial é:
Podemos escolher
para simplificar:
Resposta
O trabalho necessário para mover uma carga de 1C de A até B é de 2 Joules, a diferença de potencial
é -2 Volts, e a função potencial escalar
na região é dada por: