Dado um campo elétrico E3=x z i+y z j+(x^2+y^2) k V / m, determine o trabalho para mover uma carga de 1C do ponto A=(0,0,0) até o ponto B=(1,1,1). Determine também a d.d.p (VA B) e a função escalar potencial elétrico (V) nesta região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo elétrico dado por E3=x z i + y z j + (x^2+y^2) k em volts por metro (V/m). Precisamos descobrir quanto trabalho é feito para mover uma carga de 1 Coulomb © do ponto A (0,0,0) até o ponto B (1,1,1). Além disso, vamos encontrar a diferença de potencial elétrico VAB e a função potencial escalar V nessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho elétrico, potencial elétrico e integrais de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado para mover a carga de 1C de A para B. O trabalho W é dado pela integral do campo elétrico E ao longo do caminho que a carga percorre:
W = q integralA^B E cdot dl
Como a carga q = 1,C, podemos simplificar para:
W = integralA^B E cdot dl

Passo 3

Agora, precisamos escolher um caminho para integrar. Vou escolher um caminho simples: primeiro mover de A (0,0,0) para (1,0,0), depois para (1,1,0) e finalmente para B (1,1,1). Isso facilita a integração porque em cada segmento só uma coordenada muda.

Passo 4

Vamos calcular a integral em cada segmento:
  1. De (0,0,0) a (1,0,0):
    • Aqui, y = 0 e z = 0, então E = 0 i + 0 j + (x^2 + 0) k.
    • O deslocamento dl = dx i.
    • O produto escalar E cdot dl = 0 cdot dx = 0.
    • Trabalho W1 = 0.
  2. De (1,0,0) a (1,1,0):
    • Aqui, x = 1 e z = 0, então E = 0 i + 0 j + (1 + y^2) k.
    • O deslocamento dl = dy j.
    • O produto escalar E cdot dl = 0 cdot dy = 0.
    • Trabalho W2 = 0.
  3. De (1,1,0) a (1,1,1):
    • Aqui, x = 1 e y = 1, então E = z i + z j + (1 + 1) k = z i + z j + 2 k.
    • O deslocamento dl = dz k.
    • O produto escalar E cdot dl = 2 cdot dz.
    • Trabalho W3 = integral0^1 2 dz = 2 [z]0^1 = 2(1 - 0) = 2,J.

Passo 5

Somando os trabalhos dos três segmentos:
W = W1 + W2 + W3 = 0 + 0 + 2 = 2,J
Então, o trabalho realizado para mover a carga de 1C de A para B é de 2 Joules.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a diferença de potencial elétrico VAB. Sabemos que:
W = q (VA - VB) Rightarrow VA - VB = Wq
Como q = 1,C e W = 2,J:
VA - VB = 21 = 2,V
Então, VAB = VB - VA = -2,V.

Passo 7

Por fim, vamos determinar a função potencial escalar V nessa região. Sabemos que:
E = -nabla V
Isso significa que:
Ex = -partial Vpartial x, Ey = -partial Vpartial y, Ez = -partial Vpartial z
Vamos integrar cada componente para encontrar V:
  1. Integrando Ex:
Ex = xz Rightarrow -partial Vpartial x = xz Rightarrow partial Vpartial x = -xz
Integrando em relação a x:
V = -12x^2z + f(y,z)
  1. Integrando Ey:
Ey = yz Rightarrow -partial Vpartial y = yz Rightarrow partial Vpartial y = -yz
Usando a expressão anterior para V:
partialpartial y(-12x^2z + f(y,z)) = -yz Rightarrow partial fpartial y = -yz
Integrando em relação a y:
f(y,z) = -12y^2z + g(z)
Então, V = -12x^2z - 12y^2z + g(z).
  1. Integrando Ez:
Ez = x^2 + y^2 Rightarrow -partial Vpartial z = x^2 + y^2
Usando a expressão atual para V:
-(-12x^2 - 12y^2 + dgdz) = x^2 + y^2 Rightarrow 12x^2 + 12y^2 - dgdz = x^2 + y^2
Simplificando:
-dgdz = 12x^2 + 12y^2 Rightarrow dg = -(12x^2 + 12y^2)dz
Mas, g(z) só depende de z, então para que a equação seja válida para todos x e y, a única solução é que g(z) é constante. Vamos chamar essa constante de C.
Então, a função potencial é:
V = -12x^2z - 12y^2z + C
Podemos escolher C = 0 para simplificar:
V = -12x^2z - 12y^2z

Resposta

O trabalho necessário para mover uma carga de 1C de A até B é de 2 Joules, a diferença de potencial VAB é -2 Volts, e a função potencial escalar V na região é dada por:
V = -12x^2z - 12y^2z

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