Dada uma densidade elétrica D=-4 x y z i+3 x^3 y^wed>= 2 z j C / m^2, determine a carga elétrica contida na superfície fechada 0< x<5,0 e 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma densidade elétrica dada por D = -4xyz,i + 3x^3y^2z,j em unidades de C/m². A pergunta é para encontrar a carga elétrica total dentro da superfície fechada definida por 0 < x < 5, 0 < y < 5 e 0 < z < 5. Para isso, vamos usar o conceito de divergência da densidade elétrica e integrar sobre todo o volume da região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga elétrica total Q dentro de uma região fechada pode ser encontrada usando a seguinte fórmula da Lei de Gauss:
Q = integral triplaV (nabla cdot D), dV
Aqui, nabla cdot D é a divergência da densidade elétrica D e V é o volume da região fechada.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de D. A divergência de um campo vetorial D = Dx,i + Dy,j + Dz,k é dada por:
nabla cdot D = partial Dxpartial x + partial Dypartial y + partial Dzpartial z
No nosso caso, D = -4xyz,i + 3x^3y^2z,j, então Dx = -4xyz, Dy = 3x^3y^2z e Dz = 0.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Dxpartial x = partial (-4xyz)partial x = -4yz
partial Dypartial y = partial (3x^3y^2z)partial y = 6x^3yz
partial Dzpartial z = partial 0partial z = 0
Então, a divergência é:
nabla cdot D = -4yz + 6x^3yz

Passo 5

Agora, vamos integrar essa divergência sobre o volume definido:
Q = integral triplaV (-4yz + 6x^3yz), dV
Como os limites de integração são de 0 a 5 para x, y e z, podemos separar a integral em duas partes:
Q = -4 integral0^5 integral0^5 integral0^5 yz, dx, dy, dz + 6 integral0^5 integral0^5 integral0^5 x^3yz, dx, dy, dz

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
-4 integral0^5 integral0^5 integral0^5 yz, dx, dy, dz = -4 integral0^5 integral0^5 yz [ x ]0^5 dy, dz = -4 integral0^5 integral0^5 5yz, dy, dz
= -20 integral0^5 integral0^5 yz, dy, dz = -20 integral0^5 [ 12y^2z ]0^5 dz = -20 integral0^5 252z, dz = -250 integral0^5 z, dz
= -250 [ 12z^2 ]0^5 = -250 times 252 = -3125, C

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
6 integral0^5 integral0^5 integral0^5 x^3yz, dx, dy, dz = 6 ( integral0^5 x^3, dx ) ( integral0^5 y, dy ) ( integral0^5 z, dz )
= 6 [ x^44 ]0^5 [ y^22 ]0^5 [ z^22 ]0^5 = 6 times 6254 times 252 times 252
= 6 times 6254 times 6254 = 6 times 39062516 = 6 times 24414.0625 = 146484.375, C

Resposta

A carga elétrica total contida na superfície fechada é Q = 143359.375, C.

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