Dada uma densidade elétrica
, determine a carga elétrica contida na superfície fechada
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma densidade elétrica dada por
em unidades de C/m². A pergunta é para encontrar a carga elétrica total dentro da superfície fechada definida por
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de divergência da densidade elétrica e integrar sobre todo o volume da região.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga elétrica total
dentro de uma região fechada pode ser encontrada usando a seguinte fórmula da Lei de Gauss:
Aqui,
é a divergência da densidade elétrica
e
é o volume da região fechada.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então
,
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa divergência sobre o volume definido:
Como os limites de integração são de 0 a 5 para
,
e
, podemos separar a integral em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Resposta
A carga elétrica total contida na superfície fechada é
.