Usando lei de Gauss, determine qual o campo elétrico de uma linha de cargas finita (fio finito), de densidade linear de carga elétrica
homogênea, em um dado ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico ($ \vec{E}
\lambda $). Para resolver isso, precisamos entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a sistemas com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total ($ \Phi_E
Q_{int}
\varepsilon_0 $):
Para usar essa lei, é essencial escolher uma superfície gaussiana adequada que aproveite a simetria do problema.
Passo 3
No caso de um fio de carga infinita, a simetria cilíndrica nos ajuda bastante. Porém, como o fio é finito, essa simetria não é perfeita. Ainda assim, podemos aproximar a situação observando que, em pontos próximos ao meio do fio, a simetria cilíndrica é quase válida. Assim, vamos considerar uma superfície cilíndrica coaxial com o fio para facilitar os cálculos.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície cilíndrica. Como o campo elétrico ($ \vec{E} $) é perpendicular à superfície lateral do cilindro e tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície, o fluxo elétrico na superfície lateral é:
Onde:
- $ E $ é a magnitude do campo elétrico
- $ r $ é o raio do cilindro
- $ L $ é o comprimento do fio
As extremidades do cilindro têm fluxo elétrico quase zero porque o campo elétrico tende a se alinhar longitudinalmente próximo ao centro do fio.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
A carga interna ($ Q_{int} $) é $ \lambda L $, então:
Podemos simplificar $ L $ de ambos os lados:
Resolvendo para $ E $:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por:
Onde:
- $ \lambda $ é a densidade linear de carga
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo
- $ r $ é a distância do ponto $ P $ ao fio
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial