Determine se os campos elétricos encontrados nos exercícios anteriores para o fio finito, fio infinito, superfície infinita, esfera carregada, esfera oca e casca esférica são conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se os campos elétricos de diferentes situações são conservativos. Isso envolve entender conceitos de eletrostática, como campos elétricos e o que significa um campo ser conservativo. Vamos precisar saber o que caracteriza um campo elétrico conservativo e aplicar isso a cada caso: fio finito, fio infinito, superfície infinita, esfera carregada, esfera oca e casca esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo elétrico conservativo. Um campo é conservativo se o trabalho realizado para mover uma carga de um ponto a outro é independente do caminho escolhido. Matematicamente, isso significa que o rotacional do campo elétrico é zero, ou seja, nabla times E = 0. Em termos práticos, em eletrostática, onde os campos são estáticos e não variam com o tempo, os campos elétricos são geralmente conservativos.

Passo 3

Vamos analisar o primeiro caso: fio finito. Um fio finito tem um campo elétrico que varia com a distância do fio e depende da posição ao redor dele. Como o campo não tem variações temporais e é gerado por cargas estáticas, o campo elétrico ao redor de um fio finito também é conservativo.

Passo 4

Agora, o fio infinito. Apesar de parecer diferente por ser infinito, o campo elétrico de um fio infinito também não depende do tempo e as linhas de campo são radiais e simétricas ao longo do fio. Assim, o rotacional do campo também é zero, e o campo é conservativo.

Passo 5

Seguimos para a superfície infinita. Uma superfície infinita, como um plano carregado, gera um campo elétrico uniforme perpendicular à superfície. Esse campo não varia com a posição ao longo da superfície e, portanto, tem rotacional zero. Logo, também é um campo conservativo.

Passo 6

Vamos para a esfera carregada. Uma esfera carregada gera um campo elétrico que depende da distância ao centro da esfera. Esse campo é radial e não varia com o tempo, então seu rotacional é zero. Portanto, o campo elétrico de uma esfera carregada é conservativo.

Passo 7

Agora, a esfera oca. Mesmo sendo oca, a esfera pode estar carregada e gerar um campo elétrico externo similar ao de uma esfera sólida carregada. O campo dentro da oca é zero, e fora, é radial e depende da distância ao centro. Não há variações temporais, então o campo é conservativo.

Passo 8

Por fim, a casca esférica. Uma casca esférica carregada tem um campo elétrico semelhante ao de uma esfera oca. Externamente, o campo é radial e depende da distância, e internamente é zero. Como não há variações no tempo e o campo é estático, ele também é conservativo.

Resposta

Todos os campos elétricos analisados para o fio finito, fio infinito, superfície infinita, esfera carregada, esfera oca e casca esférica são conservativos.

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