Usando a lei de Ampere, determine o campo magnético em um ponto P1 no interior e em um ponto P2 no exterior, de um fio de raio não desprezível rho=a. Considere que pelo fio passa uma corrente elétrica I, onde a densidade de corrente, cujo valor em um corte de secção transversal do fio vale K=alpha k A / m^2, com alpha=I2 pi a^2 é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é usar a Lei de Ampère, que nos ajuda a encontrar o campo magnético gerado por uma corrente elétrica. O exercício pede para determinar esse campo magnético em dois pontos diferentes: um dentro do fio (chamado de ponto $ P_1 $) e outro fora do fio (ponto $ P_2 $). O fio tem um raio $ \rho = a $ e carrega uma corrente total $ I $. Sabemos também que a densidade de corrente é constante e dada por $ \vec{K} = \alpha \hat{k} $, onde $ \alpha = \frac{I}{2\pi a^2} $. Vamos precisar lembrar como aplicar a Lei de Ampère e como calcular a densidade de corrente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère, que diz que o circuito fechado integral do campo magnético $ \vec{B} $ ao longo de um caminho fechado é igual a $ \mu_0 $ vezes a corrente total $ I_{enc} $ que passa por dentro desse caminho:
B
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
  • $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho escolhido.
Vamos escolher um caminho circular (uma espiral de Ampère) com raio $ \rho $, que facilita os cálculos devido à simetria do problema.

Passo 3

Vamos calcular o campo magnético dentro do fio, ou seja, no ponto $ P_1 $ onde $ \rho < a $.
Primeiro, precisamos encontrar a corrente encerrada $ I_{enc} $ dentro de um círculo de raio $ \rho $. A densidade de corrente $ K $ é constante e dada por $ \alpha = \frac{I}{2\pi a^2} $.
A corrente total $ I_{enc} $ é a densidade de corrente multiplicada pela área dentro do raio $ \rho $:
P1
Substituindo $ \alpha $:
rho < a

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Ampère:
oint B cdot dl = B cdot 2pi rho = mu0 Ienc = mu0 ( I rho^22 a^2 )
Aqui, $ B $ é constante ao longo do caminho circular e $ d\vec{l} $ é tangente ao círculo, então $ \vec{B} $ e $ d\vec{l} $ estão sempre na mesma direção.
Resolvendo para $ B $:
B
dl
Simplificando:
B

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo magnético fora do fio, no ponto $ P_2 $ onde $ \rho > a $.
Nesse caso, toda a corrente $ I $ do fio está dentro do caminho circular escolhido. Portanto, a corrente encerrada $ I_{enc} $ é simplesmente $ I $.
Aplicando a Lei de Ampère novamente:
P2
Resolvendo para $ B $:
rho > a

Resposta

O campo magnético no ponto $ P_1 $ (dentro do fio) é:
P1
E no ponto $ P_2 $ (fora do fio) é:
BP1 = mu0 I rho4pi a^2

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