Usando a lei de Ampere, determine o campo magnético em um ponto
no interior e em um ponto
no exterior, de um fio de raio não desprezível
. Considere que pelo fio passa uma corrente elétrica
, onde a densidade de corrente, cujo valor em um corte de secção transversal do fio vale
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é usar a Lei de Ampère, que nos ajuda a encontrar o campo magnético gerado por uma corrente elétrica. O exercício pede para determinar esse campo magnético em dois pontos diferentes: um dentro do fio (chamado de ponto $ P_1 $) e outro fora do fio (ponto $ P_2 $). O fio tem um raio $ \rho = a $ e carrega uma corrente total $ I $. Sabemos também que a densidade de corrente é constante e dada por $ \vec{K} = \alpha \hat{k} $, onde $ \alpha = \frac{I}{2\pi a^2} $. Vamos precisar lembrar como aplicar a Lei de Ampère e como calcular a densidade de corrente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère, que diz que o circuito fechado integral do campo magnético $ \vec{B} $ ao longo de um caminho fechado é igual a $ \mu_0 $ vezes a corrente total $ I_{enc} $ que passa por dentro desse caminho:
Onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
- $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho escolhido.
Vamos escolher um caminho circular (uma espiral de Ampère) com raio $ \rho $, que facilita os cálculos devido à simetria do problema.
Passo 3
Vamos calcular o campo magnético dentro do fio, ou seja, no ponto $ P_1 $ onde $ \rho < a $.
Primeiro, precisamos encontrar a corrente encerrada $ I_{enc} $ dentro de um círculo de raio $ \rho $. A densidade de corrente $ K $ é constante e dada por $ \alpha = \frac{I}{2\pi a^2} $.
A corrente total $ I_{enc} $ é a densidade de corrente multiplicada pela área dentro do raio $ \rho $:
Substituindo $ \alpha $:
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Ampère:
Aqui, $ B $ é constante ao longo do caminho circular e $ d\vec{l} $ é tangente ao círculo, então $ \vec{B} $ e $ d\vec{l} $ estão sempre na mesma direção.
Resolvendo para $ B $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo magnético fora do fio, no ponto $ P_2 $ onde $ \rho > a $.
Nesse caso, toda a corrente $ I $ do fio está dentro do caminho circular escolhido. Portanto, a corrente encerrada $ I_{enc} $ é simplesmente $ I $.
Aplicando a Lei de Ampère novamente:
Resolvendo para $ B $:
Resposta
O campo magnético no ponto $ P_1 $ (dentro do fio) é:
E no ponto $ P_2 $ (fora do fio) é: