Dada a densidade superficial de cargas, rhos=2 mu C / m^2, existente na região rho <0,2 m, z=0, calcule E em: (b) PB(rho=0 ; z=-0,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A gente tem uma densidade superficial de carga, rhos = 2, mu C/m^2, distribuída na região onde o raio rho é menor que 0,2, m e z = 0. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico, E, no ponto PB, que está localizado em rho = 0 e z = -0,5, m. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas em um disco circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o disco com densidade superficial de carga cria um campo elétrico ao seu redor. Como o ponto onde queremos calcular o campo está ao longo do eixo central do disco (no caso, o eixo z), podemos simplificar os cálculos usando simetria.

Passo 3

A fórmula para o campo elétrico no eixo central de um disco circular de raio a, com densidade superficial de carga sigma, a uma distância z do centro do disco é dada por:
E(z) = sigma2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + a^2)
Aqui, varepsilon0 é a permissividade do vácuo, que vale aproximadamente 8,85 times 10^-12, C^2/(N,m^2).

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos:
  • sigma = rhos = 2, mu C/m^2 = 2 times 10^-6, C/m^2
  • a = 0,2, m
  • z = -0,5, m (o sinal negativo indica que o ponto está abaixo do disco, mas como o campo depende do valor absoluto de z, podemos usar |z| = 0,5, m)

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:
E = 2 times 10^-62 times 8,85 times 10^-12 (1 - 0,5raiz(0,5)^2 + (0,2)^2)

Passo 6

Vamos simplificar os cálculos passo a passo. Primeiro, calculamos o denominador:
2 times 8,85 times 10^-12 = 1,77 times 10^-11, C^2/(N,m^2)

Passo 7

Agora, calculamos o termo dentro do parêntese:
raiz(0,5)^2 + (0,2)^2 = raiz0,25 + 0,04 = raiz0,29 approx 0,5385, m
0,50,5385 approx 0,927
1 - 0,927 = 0,073

Passo 8

Agora, substituímos de volta na equação do campo elétrico:
E = 2 times 10^-61,77 times 10^-11 times 0,073
2 times 10^-61,77 times 10^-11 approx 1,1299 times 10^5, N/C
E approx 1,1299 times 10^5 times 0,073 approx 8,246 times 10^3, N/C

Resposta

O campo elétrico no ponto PB(rho=0 ; z=-0,5, m) é aproximadamente 8,25 times 10^3, N/C direcionado para baixo.

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