Dada a densidade superficial de cargas, rhos=2 mu C / m^2, existente na região rho <0,2 m, z=0, Mostre que: © o campo ao longo do eixo z reduz àquele de uma lâmina infinita de cargas para pequenos valores de z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma densidade superficial de carga, rhos = 2,muC/m^2, que está distribuída numa região circular com raio rho < 0,2,m no plano z = 0. O que precisamos mostrar aqui é que, ao olhar para o campo elétrico ao longo do eixo z bem perto da carga (ou seja, para valores pequenos de z), esse campo se comporta igual ao campo de uma lâmina infinita de cargas. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma lâmina infinita de cargas. Para uma lâmina com densidade superficial de carga sigma, o campo elétrico em cima e embaixo da lâmina é dado por:
E = sigma2varepsilon0
onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
Agora, no nosso caso, temos uma lâmina com limite finito (raio rho < 0,2,m), mas queremos ver o que acontece quando olhamos para o campo bem próximo da lâmina, ou seja, quando z é bem pequeno.

Passo 3

Vamos considerar a expressão do campo elétrico devido a uma distribuição circular de carga no eixo z. A equação geral para o campo elétrico ao longo do eixo z devido a uma carga superficial circular é:
E(z) = rhos2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + rho^2)
onde rhos é a densidade superficial de carga e rho é o raio da distribuição circular.

Passo 4

Queremos analisar o comportamento desse campo para valores pequenos de z (ou seja, z ll rho). Vamos fazer uma aproximação para simplificar a expressão. Quando z é muito pequeno comparado a rho, podemos expandir a expressão raizz^2 + rho^2 usando uma série de Taylor.
Sabemos que para z ll rho:
raizz^2 + rho^2 approx rho (1 + z^22rho^2)

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão do campo elétrico:
E(z) approx rhos2varepsilon0 (1 - zrho (1 + z^22rho^2))
Para z ll rho, o termo z^22rho^2 é muito pequeno e podemos desprezar:
E(z) approx rhos2varepsilon0 (1 - zrho)
Mas como z é bem pequeno, o termo zrho também é desprezível, restando:
E(z) approx rhos2varepsilon0

Passo 6

Observe que o resultado obtido para E(z) é exatamente o campo de uma lâmina infinita de carga! Isso mostra que, para valores pequenos de z, o campo elétrico devido à distribuição circular finita se aproxima ao campo de uma lâmina infinita.

Resposta

Para pequenos valores de z, o campo elétrico ao longo do eixo z se aproxima a E = rhos2varepsilon0, igual ao campo de uma lâmina infinita de cargas.

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