Beleza, vamos lá! A gente tem uma densidade superficial de carga, , que está distribuída numa região circular com raio no plano . O que precisamos mostrar aqui é que, ao olhar para o campo elétrico ao longo do eixo bem perto da carga (ou seja, para valores pequenos de ), esse campo se comporta igual ao campo de uma lâmina infinita de cargas. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma lâmina infinita de cargas. Para uma lâmina com densidade superficial de carga , o campo elétrico em cima e embaixo da lâmina é dado por:
onde é a permissividade do vácuo.
Agora, no nosso caso, temos uma lâmina com limite finito (raio ), mas queremos ver o que acontece quando olhamos para o campo bem próximo da lâmina, ou seja, quando é bem pequeno.
Passo 3
Vamos considerar a expressão do campo elétrico devido a uma distribuição circular de carga no eixo . A equação geral para o campo elétrico ao longo do eixo devido a uma carga superficial circular é:
onde é a densidade superficial de carga e é o raio da distribuição circular.
Passo 4
Queremos analisar o comportamento desse campo para valores pequenos de (ou seja, ). Vamos fazer uma aproximação para simplificar a expressão. Quando é muito pequeno comparado a , podemos expandir a expressão usando uma série de Taylor.
Sabemos que para :
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão do campo elétrico:
Para z ll rho, o termo z^22rho^2 é muito pequeno e podemos desprezar:
E(z) approx rhos2varepsilon0 (1 - zrho)
Mas como z é bem pequeno, o termo zrho também é desprezível, restando:
E(z) approx rhos2varepsilon0
Passo 6
Observe que o resultado obtido para E(z) é exatamente o campo de uma lâmina infinita de carga! Isso mostra que, para valores pequenos de z, o campo elétrico devido à distribuição circular finita se aproxima ao campo de uma lâmina infinita.
Resposta
Para pequenos valores de z, o campo elétrico ao longo do eixo z se aproxima a E = rhos2varepsilon0, igual ao campo de uma lâmina infinita de cargas.