Dada a densidade superficial de cargas,
, existente na região
, Mostre que: (d) o campo ao longo do eixo
se reduz àquele de uma carga pontual para grandes valores de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma densidade superficial de carga,
, distribuída numa região circular com raio
no plano
. O que precisamos mostrar é que, ao nos afastarmos muito ao longo do eixo
, o campo elétrico dessa distribuição se comporta como o campo de uma carga pontual.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especificamente como calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga superficial e entender como ele se comporta em diferentes distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total presente nessa superfície circular. Como a densidade superficial de carga é constante, a carga total
pode ser encontrada multiplicando a densidade pela área da superfície.
A área
de um círculo é dada por:
Onde
.
Então, a carga total é:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos analisar o campo elétrico ao longo do eixo
. O campo devido a uma distribuição de carga circular uniforme no eixo
é dado por:
Onde:
-
é a carga total -
é a distância ao longo do eixo -
é o raio da distribuição -
é a permissividade do vácuo ( )
Passo 4
Para grandes valores de
, ou seja, quando
, a expressão
pode ser aproximada por
, já que
se torna insignificante comparada a
. Então, simplificamos o campo elétrico:
Passo 5
Essa expressão é exatamente a do campo elétrico devido a uma carga pontual
situada na origem, ao longo do eixo
. Ou seja, quando nos afastamos muito dessa distribuição circular, o campo que percebemos é como se toda a carga estivesse concentrada em um ponto.
Resposta
Para grandes valores de
, o campo elétrico ao longo do eixo
se comporta como o de uma carga pontual: