Dada a densidade superficial de cargas, rhos=2 mu C / m^2, existente na região rho <0,2 m, z=0, Mostre que: (d) o campo ao longo do eixo z se reduz àquele de uma carga pontual para grandes valores de z.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma densidade superficial de carga, rhos=2 mu C / m^2, distribuída numa região circular com raio rho < 0,2 m no plano z=0. O que precisamos mostrar é que, ao nos afastarmos muito ao longo do eixo z, o campo elétrico dessa distribuição se comporta como o campo de uma carga pontual.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especificamente como calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga superficial e entender como ele se comporta em diferentes distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total presente nessa superfície circular. Como a densidade superficial de carga é constante, a carga total Q pode ser encontrada multiplicando a densidade pela área da superfície.
A área A de um círculo é dada por:
A = pi rho^2
Onde rho = 0,2 m.
Então, a carga total é:
Q = rhos cdot A = rhos cdot pi rho^2
Substituindo os valores:
Q = 2 times 10^-6 , C/m^2 cdot pi cdot (0,2)^2 , m^2 = 2 times 10^-6 cdot pi cdot 0,04 = 2,513 times 10^-7 , C

Passo 3

Agora, vamos analisar o campo elétrico ao longo do eixo z. O campo devido a uma distribuição de carga circular uniforme no eixo z é dado por:
Ez = Q z4 pi varepsilon0 (z^2 + rho^2)^3/2
Onde:
  • Q é a carga total
  • z é a distância ao longo do eixo
  • rho é o raio da distribuição
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( approx 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2))

Passo 4

Para grandes valores de z, ou seja, quando z gg rho, a expressão (z^2 + rho^2)^3/2 pode ser aproximada por z^3, já que rho^2 se torna insignificante comparada a z^2. Então, simplificamos o campo elétrico:
Ez approx Q z4 pi varepsilon0 z^3 = Q4 pi varepsilon0 z^2

Passo 5

Essa expressão é exatamente a do campo elétrico devido a uma carga pontual Q situada na origem, ao longo do eixo z. Ou seja, quando nos afastamos muito dessa distribuição circular, o campo que percebemos é como se toda a carga estivesse concentrada em um ponto.

Resposta

Para grandes valores de z, o campo elétrico ao longo do eixo z se comporta como o de uma carga pontual:
Ez approx Q4 pi varepsilon0 z^2

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