1. Dada f(x)=xx^2+4, determine seus pontos críticos e analise sua natureza.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a pergunta quer é que a gente encontre os pontos críticos da função f(x) = xx^2 + 4 e descubra se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função f(x) . A derivada nos ajuda a saber onde a inclinação da função é zero ou onde ela muda de direção, que são exatamente os pontos críticos.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se f(x) = g(x)h(x) , então
f'(x) = g'(x)h(x) - g(x)h'(x)[h(x)]^2

Passo 3

Aplicando a regra do quociente na nossa função:
  • g(x) = x g'(x) = 1
  • h(x) = x^2 + 4 h'(x) = 2x
Substituindo na fórmula da derivada:
f'(x) = 1 cdot (x^2 + 4) - x cdot 2x(x^2 + 4)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
1 cdot (x^2 + 4) - x cdot 2x = x^2 + 4 - 2x^2 = -x^2 + 4
Então, a derivada fica:
f'(x) = -x^2 + 4(x^2 + 4)^2

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
f'(x) = 0 Rightarrow -x^2 + 4(x^2 + 4)^2 = 0
O denominador nunca é zero, então resolvemos:
-x^2 + 4 = 0 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Então, os pontos críticos estão em x = 2 e x = -2 .

Passo 6

Agora, vamos descobrir se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
Vamos encontrar a segunda derivada f''(x) .

Passo 7

Primeiro, derivamos f'(x) = -x^2 + 4(x^2 + 4)^2 novamente. Vamos aplicar a regra do quociente:
  • g(x) = -x^2 + 4 g'(x) = -2x
  • h(x) = (x^2 + 4)^2 h'(x) = 2(x^2 + 4) cdot 2x = 4x(x^2 + 4)
Então,
f''(x) = (-2x)(x^2 + 4)^2 - (-x^2 + 4) cdot 4x (x^2 + 4)(x^2 + 4)^4

Passo 8

Vamos simplificar o numerador:
-2x(x^2 + 4)^2 + 4x(x^2 - 4)(x^2 + 4)
Fatorando 2x(x^2 + 4) :
2x(x^2 + 4)[ - (x^2 + 4) + 2(x^2 - 4) ] = 2x(x^2 + 4)(x^2 - 12)
Então, a segunda derivada fica:
f''(x) = 2x(x^2 - 12)(x^2 + 4)^3

Passo 9

Agora, vamos avaliar f''(x) nos pontos críticos x = 2 e x = -2 :
  • Para x = 2 :
f''(2) = 2 cdot 2 (2^2 - 12)(2^2 + 4)^3 = 4 cdot (-8)512 = -116
Como f''(2) < 0 , x = 2 é um ponto de máximo.
  • Para x = -2 :
f''(-2) = 2 cdot (-2) ((-2)^2 - 12)((-2)^2 + 4)^3 = -4 cdot (-8)512 = 116
Como f''(-2) > 0 , x = -2 é um ponto de mínimo.

Resposta

Os pontos críticos da função f(x) = xx^2 + 4 são x = 2 (máximo) e x = -2 (mínimo).

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