- Dada
, determine seus pontos críticos e analise sua natureza.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a pergunta quer é que a gente encontre os pontos críticos da função
e descubra se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a saber onde a inclinação da função é zero ou onde ela muda de direção, que são exatamente os pontos críticos.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se
, então
Passo 3
Aplicando a regra do quociente na nossa função:
-
→ -
→
Substituindo na fórmula da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
O denominador nunca é zero, então resolvemos:
Então, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 6
Agora, vamos descobrir se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
Vamos encontrar a segunda derivada
.
Passo 7
Primeiro, derivamos
novamente. Vamos aplicar a regra do quociente:
-
→ -
→
Então,
Passo 8
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando
:
Então, a segunda derivada fica:
Passo 9
Agora, vamos avaliar
nos pontos críticos
e
:
- Para
:
Como
,
é um ponto de máximo.
- Para
:
Como
,
é um ponto de mínimo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
(máximo) e
(mínimo).