Usando os conceitos de integrais impróprias verifique se as integrais convergem.
integral0^infty 2 e^-x+1x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral0^inftyl(2e^-x + 1x^3r),dx
Aqui temos dois pontos de atenção: o ponto infinito ( xtoinfty) e a singularidade em x=0 (onde tfrac1x^3 explode).

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas cuja convergência podemos testar separadamente:
integral0^infty2e^-x,dx e integral0^infty1x^3,dx

Passo 3

Analisando
integral0^infty2e^-x,dx = 2integral0^inftye^-x,dx
Como sabemos que
integral0^inftye^-x,dx = l[-e^-xr]0^infty = 1,
segue que
integral0^infty2e^-x,dx = 2cdot 1 = 2,
ou seja, essa parcela converge.

Passo 4

Agora consideramos
integral0^infty1x^3,dx
e dividimos o domínio em [0,1] e [1,infty):
integral0^11x^3,dx e integral1^infty1x^3,dx
Para a parte em [1,infty), como é um caso de p-integral com p=3>1, temos
integral1^infty1x^3,dx = l[-tfrac12x^2r]1^infty = 12,
ou seja, essa parte converge.
Porém, em [0,1],
integral0^11x^3,dx = limato 0^+integrala^1x^-3,dx = limato0^+l[-tfrac12x^2r]a^1 = limato0^+l(-tfrac12 + tfrac12a^2r),
e como tfrac1a^2toinfty quando ato0, essa parte diverge para +infty.

Passo 5

Como a segunda parcela integral0^inftytfrac1x^3,dx diverge, a soma
integral0^inftyl(2e^-x + tfrac1x^3r),dx
também diverge.

Resposta

A integral integral0^inftyl(2e^-x + x^-3r),dx diverge.

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