Usando os conceitos de integrais impróprias verifique se as integrais convergem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
Aqui temos dois pontos de atenção: o ponto infinito (
) e a singularidade em
(onde
explode).
Passo 2
Separamos a integral em duas parcelas cuja convergência podemos testar separadamente:
Passo 3
Analisando
Como sabemos que
segue que
ou seja, essa parcela converge.
Passo 4
Agora consideramos
e dividimos o domínio em
e
:
Para a parte em
, como é um caso de
-integral com
, temos
ou seja, essa parte converge.
Porém, em ,
Porém, em
e como
quando
, essa parte diverge para
.
Passo 5
Como a segunda parcela
diverge, a soma
também diverge.
Resposta
A integral
diverge.