Um pesquisador quer saber qual a proporção de passageiros de aviões que têm medo de voar. Para tanto, faz uma pesquisa com uma amostra aleatória simples de 2000 passageiros, na qual 1215 afirmaram que têm medo de voar. Obs: Considere que as avaliações são independentes.
[ 1,0 ponto] Com base nessa amostra, faça um intervalo de confiança do parâmetro proporção (utilize \gamma=0,95 ).
[1,0 ponto] Qual o tamanho da amostra para se obter um intervalo de confiança com um erro de 1% na estimação da proporção (isto é, ficar \pm 0,01 no intervalo de confiança)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) intervalo de confiança para a proporção p de passageiros com medo de voar, a partir de uma amostra aleatória simples de n = 2000 com x = 1215 sucessos; (ii) tamanho da amostra necessário para que o intervalo de confiança tenha margem de erro de \pm 0,01 com nível de confiança \gamma = 0,95. O conteúdo envolvido é estatística de proporções, usando aproximação normal à binomial (já que n\hat p e n(1-\hat p) são grandes).

Passo 2

Calculamos a proporção amostral
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{1215}{2000} = 0,6075.

Passo 3

Para nível \gamma = 0,95 temos \alpha = 0,05 e \alpha/2 = 0,025. O valor crítico da normal padrão é
z_{\alpha/2} = z_{0,025} = 1,96.

Passo 4

A margem de erro do intervalo é
E \;=\; z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} \;=\;1,96\,\sqrt{\frac{0,6075\cdot(1-0,6075)}{2000}} \;\approx\;1,96\times0,010908 \;\approx\;0,0214.

Passo 5

O intervalo de confiança para p é
\hat p \pm E,
isto é,
0,6075 - 0,0214 \;\le\; p \;\le\; 0,6075 + 0,0214
ou seja
[\,0,5861;\;0,6289\,].

Passo 6

Para achar o tamanho de amostra necessário com margem de erro E=0,01 e mesmo nível \gamma=0,95, usamos
n \;=\;\frac{z_{\alpha/2}^{2}\,p^*(1-p^*)}{E^{2}},
em que p^* é uma estimativa inicial de p. Usando \hat p=0,6075,
n \;=\;\frac{1,96^{2}\,\times0,6075\,(1-0,6075)}{0,01^{2}} \;\approx\;9148,2.
Arredondando para cima, fica n = 9149.

Resposta

O intervalo de confiança a 95\% para a proporção é aproximadamente
\,\left[0,5861;\,0,6289\right]\,.
O tamanho de amostra necessário para obter margem de erro de \pm 0,01 a 95\% é n = 9149.

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