Dada a seguinte distribuição, pede-se:
x -2 -1 0 6 11 13 Total
\mathrm{P}(\mathrm{x}) 0,15 0,05 0,20 0,20 0,30 0,10 1
E\left(X^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a distribuição discreta de uma variável aleatória X com os seguintes pares (x,\mathrm{P}(x)):
(-2,\,0,15),\;(-1,\,0,05),\;(0,\,0,20),\;(6,\,0,20),\;(11,\,0,30),\;(13,\,0,10)
e pede para calcular E\left(X^{2}\right). A tabela já indica que a soma das probabilidades é 1.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa E\left(X^{2}\right). Para uma variável aleatória discreta X com valores x_i e probabilidades \mathrm{P}(X=x_i), a esperança de X^{2} é definida por
E\left(X^{2}\right)=\sum_{i} x_i^{2}\,\mathrm{P}(X=x_i).
Aqui:
  • x_i são os valores possíveis de X;
  • x_i^{2} é o quadrado de cada valor;
  • \mathrm{P}(X=x_i) é a probabilidade associada ao valor x_i.
    A ideia é: para cada valor, calculo o quadrado, peso pelo quão provável é esse valor e somo tudo. É exatamente isso que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Primeiro calculo os quadrados de cada x:
(-2)^{2}=4,\quad (-1)^{2}=1,\quad 0^{2}=0,\quad 6^{2}=36,\quad 11^{2}=121,\quad 13^{2}=169.

Passo 4

Agora multiplico cada quadrado pela probabilidade correspondente para obter as contribuições para E(X^{2}):
4\cdot 0,15 = 0,60,
1\cdot 0,05 = 0,05,
0\cdot 0,20 = 0,00,
36\cdot 0,20 = 7,20,
121\cdot 0,30 = 36,30,
169\cdot 0,10 = 16,90.

Passo 5

Agora somo todas as contribuições:
0,60 + 0,05 + 0,00 + 7,20 + 36,30 + 16,90.
Faço as somas em etapas para não errar:
0,60 + 0,05 = 0,65,
0,65 + 7,20 = 7,85,
7,85 + 36,30 = 44,15,
44,15 + 16,90 = 61,05.
Portanto o valor de E\left(X^{2}\right) é 61,05.

Resposta

E\left(X^{2}\right)=61,05

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