Seja
uma amostra aleatória da variável aleatória
com função densidade de probabilidade dada por
a) Especifique o espaço paramétrico e o suporte associado à distribuição de
.
b) Encontre uma estatística suficiente para
.
c) Verifique que a distribuição de
não pertence a família exponencial.
b) Encontre uma estatística suficiente para
c) Verifique que a distribuição de
Passo 1
O enunciado considera uma amostra aleatória
de uma variável
com densidade
Os itens pedem (a) o espaço paramétrico e o suporte de
, (b) uma estatística suficiente para
e (c) mostrar que essa família não é exponencial. Vamos usar definição de suporte, teorema da fatoração de Neyman–Fisher e a condição de suporte independente do parâmetro para família exponencial.
Passo 2
Para o item (a), basta olhar as condições em que
está definida:
– A variável de parâmetro satisfaz .
– Para cada , a variável
só assume valores
.
Logo, o espaço paramétrico é
– A variável de parâmetro satisfaz
– Para cada
Logo, o espaço paramétrico é
e para cada
o suporte de
é
Passo 3
Para o item (b), usamos o teorema da fatoração. A verossimilhança da amostra é
Aqui
não depende de
e
depende de
apenas por meio de
. Portanto,
é estatística suficiente para
.
Passo 4
Para o item (c), note que em uma família exponencial de forma
o suporte de
não pode depender de
. Aqui, porém, a condição
faz o suporte variar com o parâmetro. Como o suporte depende de
, a distribuição não pertence à família exponencial.
Resposta
a)
e o suporte de
é
.
b) .
c) Não é família exponencial pois o suporte depende de
.
b) .
c) Não é família exponencial pois o suporte