Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória da variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por
f(x \mid \theta)=\mathrm{e}^{-(x-\theta)}, x>\theta, \theta>0
a) Especifique o espaço paramétrico e o suporte associado à distribuição de X.
b) Encontre uma estatística suficiente para \theta.
c) Verifique que a distribuição de X não pertence a família exponencial.

Passo 1

O enunciado considera uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma variável X com densidade
f(x\mid\theta)=\mathrm{e}^{-(x-\theta)},\quad x>\theta,\;\theta>0.
Os itens pedem (a) o espaço paramétrico e o suporte de X, (b) uma estatística suficiente para \theta e (c) mostrar que essa família não é exponencial. Vamos usar definição de suporte, teorema da fatoração de Neyman–Fisher e a condição de suporte independente do parâmetro para família exponencial.

Passo 2

Para o item (a), basta olhar as condições em que f(x\mid\theta) está definida:
– A variável de parâmetro satisfaz \theta>0.
– Para cada \theta, a variável X só assume valores x>\theta.
Logo, o espaço paramétrico é
\Theta = \{\theta\in\mathbb{R}\mid \theta>0\},
e para cada \theta o suporte de X é
\{x\in\mathbb{R}\mid x>\theta\}.

Passo 3

Para o item (b), usamos o teorema da fatoração. A verossimilhança da amostra é
L(\theta;\bm x) =\prod_{i=1}^{n}\mathrm{e}^{-(x_i-\theta)}\mathbf{1}_{\{x_i>\theta\}} =\mathrm{e}^{-\sum_{i=1}^n x_i}\,\mathrm{e}^{n\theta}\,\mathbf{1}_{\{\theta<\min_i x_i\}}.
Aqui \mathrm{e}^{-\sum x_i} não depende de \theta e \mathrm{e}^{n\theta}\,\mathbf{1}_{\{\theta<\min_i x_i\}} depende de \theta apenas por meio de T(\bm x)=\min_i x_i. Portanto,
T(\bm x)=\min\{X_1,\dots,X_n\}
é estatística suficiente para \theta.

Passo 4

Para o item (c), note que em uma família exponencial de forma
f(x\mid\theta)=h(x)\,\exp\bigl\{w(\theta)\,t(x)+c(\theta)\bigr\}
o suporte de X não pode depender de \theta. Aqui, porém, a condição x>\theta faz o suporte variar com o parâmetro. Como o suporte depende de \theta, a distribuição não pertence à família exponencial.

Resposta

a) \Theta=\{\theta>0\} e o suporte de X é \{x>\theta\}.
b) T(\bm X)=\min\{X_1,\dots,X_n\}.
c) Não é família exponencial pois o suporte x>\theta depende de \theta.

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