Sejam
variáveis aleatórias independentes onde
, onde
é conhecido,
. Note que, neste caso, as variáveis
não são identicamente distribuídas. Encontre uma estatística conjuntamente suficiente para
e
.
Passo 1
O enunciado dá
independentes com
onde
é conhecido para cada
. Queremos encontrar uma estatística conjuntamente suficiente para os parâmetros
e
. Para isso, vamos usar o Teorema da Fatorização de Neyman–Fisher.
Passo 2
Escrevemos a densidade conjunta de
:
Expandindo a soma no expoente:
Passo 3
Substituindo na densidade conjunta, obtemos
Note que
é conhecida (depende apenas dos
), e os únicos termos que envolvem ambos os dados e os parâmetros são
e
.
Passo 4
Pela fatorização, podemos escrever
onde
e
Isso mostra que
é conjuntamente suficiente para
e
.
Resposta
Uma estatística conjuntamente suficiente para
e
é