Sejam Y_{1}, \ldots, Y_{n} variáveis aleatórias independentes onde Y_{i} \sim \mathrm{~N}\left(\beta x_{i}, \sigma^{2}\right), onde x_{i} é conhecido, i=1, \ldots, n. Note que, neste caso, as variáveis Y_{i} não são identicamente distribuídas. Encontre uma estatística conjuntamente suficiente para \beta e \sigma^{2}.

Passo 1

O enunciado dá Y_{1},\dots,Y_{n} independentes com
Y_{i}\sim N\bigl(\beta x_{i},\,\sigma^{2}\bigr),
onde x_{i} é conhecido para cada i. Queremos encontrar uma estatística conjuntamente suficiente para os parâmetros \beta e \sigma^{2}. Para isso, vamos usar o Teorema da Fatorização de Neyman–Fisher.

Passo 2

Escrevemos a densidade conjunta de \mathbf{y}=(y_{1},\dots,y_{n}):
f(\mathbf{y}\mid\beta,\sigma^{2}) =(2\pi\sigma^{2})^{-n/2} \exp\!\Biggl\{-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\beta x_{i})^{2}\Biggr\}.
Expandindo a soma no expoente:
\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\beta x_{i})^{2} =\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2} -2\beta\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} +\beta^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}.

Passo 3

Substituindo na densidade conjunta, obtemos
f(\mathbf{y}\mid\beta,\sigma^{2}) =(2\pi\sigma^{2})^{-n/2} \exp\!\Bigl\{-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr\} \exp\!\Bigl\{\frac{\beta}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} -\frac{\beta^{2}}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\Bigr\}.
Note que \sum x_{i}^{2} é conhecida (depende apenas dos x_{i}), e os únicos termos que envolvem ambos os dados e os parâmetros são
\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} e \sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}.

Passo 4

Pela fatorização, podemos escrever
f(\mathbf{y}\mid\beta,\sigma^{2}) =h(\mathbf{y})\, g\!\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i},\,\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\,;\,\beta,\sigma^{2}\Bigr),
onde
h(\mathbf{y})=(2\pi\sigma^{2})^{-n/2} \exp\!\Bigl\{-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr\} \Bigl[\text{parte sem parâmetro}\Bigr]â
e
g\bigl(T_{1},T_{2};\beta,\sigma^{2}\bigr) =\exp\!\Bigl\{\frac{\beta}{\sigma^{2}}T_{1} -\frac{\beta^{2}}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} -\frac{1}{2\sigma^{2}}T_{2}\Bigr\}.
Isso mostra que
T_{1}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}Y_{i} \quad\text{e}\quad T_{2}=\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}
é conjuntamente suficiente para \beta e \sigma^{2}.

Resposta

Uma estatística conjuntamente suficiente para \beta e \sigma^{2} é
\Bigl(\,\sum_{i=1}^{n}x_{i}Y_{i},\;\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\Bigr).

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