Dada a distribuição:
Salários (\mathrm{R} \)$ & Funcionários \ \hline 1000 \vdash 1500 8
1500 \vdash 2000 12
2000 \vdash 2500 15
2500 \vdash 3000 5
Calcule:
O desvio padrão.

Passo 1

O enunciado pede claramente: calcular o desvio padrão dos salários, a partir da distribuição por classes. As informações dadas são (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Classes de salário e número de funcionários:
    • \;1000 \vdash 1500:\; f_1=8
    • \;1500 \vdash 2000:\; f_2=12
    • \;2000 \vdash 2500:\; f_3=15
    • \;2500 \vdash 3000:\; f_4=5
A pergunta é: qual o desvio padrão (dos salários) dessa distribuição?

Passo 2

Decisões e fórmula que vou usar (explicando didaticamente):
  • Como a tabela apresenta todos os funcionários, vou tratar o conjunto como a população inteira e calcular o desvio padrão populacional.
  • Para dados agrupados em classes usa-se o ponto médio de cada classe como representante da classe. Denotando por x_i o ponto médio da classe i e por f_i a frequência dessa classe, e N=\sum_i f_i o total de observações, as fórmulas são:
    • média:
    \bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{N},onde f_i é a frequência da classe i e x_i é o ponto médio da classe i.
    • variância populacional (para dados agrupados):
    \sigma^{2}=\frac{\sum_{i} f_i x_i^{2}}{N}-\bar{x}^{2}.
    • desvio padrão:
    \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
  • Explicação curta: \sum f_i x_i/N é a média ponderada dos pontos médios; \sum f_i x_i^2/N é a média dos quadrados; a diferença dá a variância por definição.

Passo 3

Calcular os pontos médios x_i das classes (ponto médio = \tfrac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}):
  • \;x_1=\dfrac{1000+1500}{2}=1250.
  • \;x_2=\dfrac{1500+2000}{2}=1750.
  • \;x_3=\dfrac{2000+2500}{2}=2250.
  • \;x_4=\dfrac{2500+3000}{2}=2750.

Passo 4

Calcular \sum f_i x_i (necessário para a média). Faço cada produto e somo:
  • f_1x_1=8\cdot1250=10000.
  • f_2x_2=12\cdot1750=21000.
  • f_3x_3=15\cdot2250=33750.
  • f_4x_4=5\cdot2750=13750.
Somando:
\sum_i f_i x_i = 10000+21000+33750+13750 = 78500.
O total de observações é
N=\sum_i f_i = 8+12+15+5 = 40.

Passo 5

Calcular a média \bar{x}:
\bar{x}=\frac{\sum_i f_i x_i}{N}=\frac{78500}{40}=1962{,}5.
Interpretação: o salário médio aproximado é \;1962{,}5\\ \text{R\$}.

Passo 6

Calcular \sum f_i x_i^{2} (necessário para a variância). Primeiro calculo x_i^2 e depois f_i x_i^2:
  • x_1^2=1250^2=1\,562\,500, então f_1 x_1^2=8\cdot1\,562\,500=12\,500\,000.
  • x_2^2=1750^2=3\,062\,500, então f_2 x_2^2=12\cdot3\,062\,500=36\,750\,000.
  • x_3^2=2250^2=5\,062\,500, então f_3 x_3^2=15\cdot5\,062\,500=75\,937\,500.
  • x_4^2=2750^2=7\,562\,500, então f_4 x_4^2=5\cdot7\,562\,500=37\,812\,500.
Somando:
\sum_i f_i x_i^{2} = 12\,500\,000 + 36\,750\,000 + 75\,937\,500 + 37\,812\,500 = 163\,000\,000.

Passo 7

Calcular a variância populacional \sigma^{2} usando a fórmula:
\sigma^{2}=\frac{\sum_i f_i x_i^{2}}{N}-\bar{x}^{2}.
Substituindo os valores:
\frac{\sum_i f_i x_i^{2}}{N}=\frac{163\,000\,000}{40}=4\,075\,000,
\bar{x}^{2}=(1962{,}5)^{2}=3\,851\,406{,}25.
Portanto
\sigma^{2}=4\,075\,000-3\,851\,406{,}25=223\,593{,}75.

Passo 8

Calcular o desvio padrão \sigma:
\sigma=\sqrt{223\,593{,}75}\approx 472{,}86.
Interpretação: o desvio padrão dos salários é cerca de \;472{,}86\\ \text{R\$}. Isso significa que, em média (no sentido de dispersão), os salários se afastam da média por aproximadamente \text{R\$}\;472{,}86. Força aí — deu trabalho, mas o procedimento é direto: ponto médio, média ponderada, média dos quadrados, diferença e raiz quadrada.

Resposta

\sigma \approx 472{,}86\\ \text{R\$}

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