Dada a EDO
A partir da EDO obtida, no item (a) desta questão, exiba quem é a função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo da EDO exata obtida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função cuja diferencial total é igual ao lado esquerdo dessa EDO exata que a gente já tem. Isso envolve entender um pouco sobre equações exatas e diferenciais totais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de forma que fique mais fácil de identificar as partes que vamos trabalhar. A ideia é colocar tudo para um lado da equação, igualando a zero:
Agora, comparando com a forma geral de uma EDO exata:
Podemos identificar:
Passo 3
Para saber se essa EDO é exata, a gente verifica se a condição das derivadas parciais é satisfeita. Ou seja, a derivada de
em relação a
tem que ser igual à derivada de
em relação a
:
Calculando cada uma:
Como
, a equação NÃO é exata inicialmente.
Passo 4
Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado por toda a equação, torne ela exata. Geralmente, tentamos um fator que depende só de
, ou
.
Multiplicando a EDO por
:
Queremos que, após multiplicar, a condição de exatidão seja satisfeita:
Calculando a derivada à esquerda:
Igualando às derivadas:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação diferencial para
:
Separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 6
Multiplicando a EDO original pelo fator integrante
:
Agora, a EDO está exata, pois satisfaz a condição das derivadas parciais.
Passo 7
Com a EDO exata, a gente busca uma função
tal que:
Começamos integrando
em relação a
:
Aí, diferenciamos
em relação a
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos ignorar essa constante para simplificar.
Então, a função procurada é:
Resposta
A função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo da EDO exata é: