Dada a EDO
x^3 d yd x+4 x^2 y=e^-x
A partir da EDO obtida, no item (a) desta questão, exiba quem é a função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo da EDO exata obtida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
x^3 d yd x + 4 x^2 y = e^-x
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função cuja diferencial total é igual ao lado esquerdo dessa EDO exata que a gente já tem. Isso envolve entender um pouco sobre equações exatas e diferenciais totais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de forma que fique mais fácil de identificar as partes que vamos trabalhar. A ideia é colocar tudo para um lado da equação, igualando a zero:
x^3 d yd x + 4 x^2 y - e^-x = 0
Agora, comparando com a forma geral de uma EDO exata:
M(x, y) + N(x, y) d yd x = 0
Podemos identificar:
M(x, y) = 4 x^2 y - e^-x N(x, y) = x^3

Passo 3

Para saber se essa EDO é exata, a gente verifica se a condição das derivadas parciais é satisfeita. Ou seja, a derivada de M em relação a y tem que ser igual à derivada de N em relação a x :
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando cada uma:
partial Mpartial y = 4 x^2 partial Npartial x = 3 x^2
Como 4 x^2 neq 3 x^2 , a equação NÃO é exata inicialmente.

Passo 4

Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado por toda a equação, torne ela exata. Geralmente, tentamos um fator que depende só de x , ou mu(x) .
Multiplicando a EDO por mu(x) :
mu(x) x^3 d yd x + mu(x) 4 x^2 y = mu(x) e^-x
Queremos que, após multiplicar, a condição de exatidão seja satisfeita:
partial (mu x^3)partial x = partial (mu 4 x^2 y)partial y = mu 4 x^2
Calculando a derivada à esquerda:
ddx (mu x^3) = mu' x^3 + 3 mu x^2
Igualando às derivadas:
mu' x^3 + 3 mu x^2 = 4 mu x^2
Simplificando:
mu' x^3 = mu x^2 mu' = mux

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação diferencial para mu :
d mud x = mux
Separamos as variáveis:
d mumu = d xx
Integrando ambos os lados:
ln mu = ln x + C mu = C x
Podemos escolher C = 1 para simplificar, então:
mu(x) = x

Passo 6

Multiplicando a EDO original pelo fator integrante mu(x) = x :
x cdot x^3 d yd x + x cdot 4 x^2 y = x cdot e^-x x^4 d yd x + 4 x^3 y = x e^-x
Agora, a EDO está exata, pois satisfaz a condição das derivadas parciais.

Passo 7

Com a EDO exata, a gente busca uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y) = 4 x^3 y partial Fpartial y = N(x, y) = x^4
Começamos integrando M em relação a x :
F(x, y) = integral 4 x^3 y , dx = y integral 4 x^3 , dx = y cdot x^4 + h(y)
Aí, diferenciamos F em relação a y :
partial Fpartial y = x^4 + h'(y) = x^4
Isso implica que h'(y) = 0 , ou seja, h(y) é uma constante. Podemos ignorar essa constante para simplificar.
Então, a função procurada é:
F(x, y) = x^4 y

Resposta

A função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo da EDO exata é:
F(x, y) = x^4 y

Exercícios relacionados