Dada a EDO homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2-3 d yd x-y=0
Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem e homogênea:
d^2 yd x^2 - 3 d yd x - y = 0
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, principalmente encontrando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. Para uma EDO do tipo:
a d^2 yd x^2 + b d yd x + c y = 0
a equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, temos:
a = 1, b = -3, c = -1
Então, a equação característica fica:
r^2 - 3 r - 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Substituindo os valores:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Portanto, as raízes são:
r = 3 pm raiz(-3)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1 = 3 pm raiz9 + 42 = 3 pm raiz132

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO será uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes a cada raiz. Ou seja:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo as raízes que encontramos:
y(x) = C1 e^( 3 + raiz132 ) x + C2 e^( 3 - raiz132 ) x

Resposta

A solução geral da EDO dada é:
y(x) = C1 e^( 3 + raiz132 ) x + C2 e^( 3 - raiz132 ) x

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