Dada a EDO homogênea de
ordem
Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem e homogênea:
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, principalmente encontrando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. Para uma EDO do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso, temos:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO será uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes a cada raiz. Ou seja:
Substituindo as raízes que encontramos:
Resposta
A solução geral da EDO dada é: