Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
f(x)=ccc2 raiz1+x^2, & se & x<1 0, & se & x=1 -x^2+3 x-3, & se & x>1

Passo 1

Estamos lidando com uma função definida por partes: para x<1 temos a parte √, em x=1 um ponto isolado e para x>1 uma parábola. Vamos precisar usar propriedades de funções raiz, análise de extremos e união de intervalos para achar domínio e imagem.

Passo 2

A função está dada para x<1, x=1 e x>1 sem restrições de raiz (pois √(1+x²) existe para todo x). Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Para x<1 temos f(x)=2√(1+x²). Essa função é crescente em |x|, mas seu valor mínimo ocorre em x=0 (pois √(1+x²) ≥1). Em x=0 f(0)=2√1=2. À medida que x→−∞ ou x→1⁻, f(x)→+∞. Assim a imagem desse ramo é [2,∞).

Passo 4

Em x=1 a função vale f(1)=0. É um ponto isolado que produz o valor 0.

Passo 5

Para x>1 temos f(x)=−x²+3x−3. Essa é uma parábola invertida com vértice em x=3/2. O valor máximo é f(3/2)=−(3/2)²+3·(3/2)−3=−9/4+9/2−3=−3/4. Para x→1⁺ f→−1 e para x→+∞ f→−∞. Logo a imagem desse ramo é (−∞,−3/4].

Passo 6

Unindo todas as imagens: do ramo esquerdo [2,∞), do ponto isolado {0} e do ramo direito (−∞,−3/4] obtemos Im
f=(−∞,−3/4]∪{0}∪[2,∞).

Passo 7

O esboço do gráfico fica assim: para x<1 uma curva que parte de +∞ em x→−∞, atinge o mínimo 2 em x=0 e sobe até 2√2 em x→1⁻; em x=1 temos um ponto cheio em (1,0) e um ponto aberto em (1,−1); para x>1 uma parábola invertida que atinge o máximo −3/4 em x=1.5 e decresce até −∞.

Resposta

Domínio f=ℝ
Imagem f=(−∞,−3/4]∪{0}∪[2,∞)

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