Verifique se a equação
, é exata.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a equação diferencial
é exata. As informações dadas são exatamente essa equação; não há outras condições ou figuras.
Neste passo eu apenas expus o que foi pedido e o que o enunciado fornece.
Neste passo eu apenas expus o que foi pedido e o que o enunciado fornece.
Passo 2
O que significa ser uma equação exata? Vou explicar devagarinho e com calma. Escrevemos uma equação diferencial na forma diferencial:
Dizemos que ela é exata se existir uma função
tal que
Uma condição prática, que é muito usada na prova, é: se
e
têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa, então a equação é exata se, e somente se,
Explicando a derivada parcial: quando eu calculo
trato
como constante e derivo em relação a
; quando calculo
trato
como constante e derivo em relação a
.
Passo 3
Primeiro colocamos a equação na forma
. A equação dada é
Lembrando que
, multiplicando ambos os lados por
obtemos
Portanto identificamos
Passo 4
Agora calculamos
. Como
, ao derivar em relação a
(tratando
como constante) temos
Explicando: a derivada de
em relação a
é
porque
é coeficiente constante quando diferenciamos em
; a derivada de
é
.
Passo 5
Agora calculamos
. Como
, ao derivar em relação a
(tratando
como constante) temos
Explicando: a derivada de
em relação a
é
; a derivada de
em relação a
é
porque
é tratado como constante.
Passo 6
Compare as duas derivadas parciais que calculamos:
Elas são iguais. Além disso,
e
são polinômios, portanto têm derivadas contínuas em toda a reta
, logo a condição para exatidão vale numa região adequada. Conclusão: a equação é exata.
Passo 7
Para consolidar o entendimento, vou mostrar como encontrar a solução implícita
. Começamos buscando uma função
tal que
. Tomando
integramos em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante de integração” que pode depender de
.
Passo 8
Agora impomos
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Isso deve ser igual a
. Logo
Integrando em
,
Podemos absorver
no lado direito da solução implícita final.
Passo 9
Substituindo
em
, obtemos uma função potencial
A solução geral implícita da equação exata é
ou seja
onde
é constante arbitrária. Isso é útil na prova: além de verificar exatidão, muitas vezes pede-se a solução.
Resposta
Sim — é exata. Solução geral implícita: