Verifique se a equação \left(x^{2}+4 y\right) y^{\prime}+(2 x y+1)=0, é exata.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a equação diferencial
\left(x^{2}+4 y\right) y^{\prime}+(2 x y+1)=0
é exata. As informações dadas são exatamente essa equação; não há outras condições ou figuras.
Neste passo eu apenas expus o que foi pedido e o que o enunciado fornece.

Passo 2

O que significa ser uma equação exata? Vou explicar devagarinho e com calma. Escrevemos uma equação diferencial na forma diferencial:
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Dizemos que ela é exata se existir uma função \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática, que é muito usada na prova, é: se M e N têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa, então a equação é exata se, e somente se,
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Explicando a derivada parcial: quando eu calculo \partial M/\partial y trato x como constante e derivo em relação a y; quando calculo \partial N/\partial x trato y como constante e derivo em relação a x.

Passo 3

Primeiro colocamos a equação na forma M\,dx+N\,dy=0. A equação dada é
\left(x^{2}+4 y\right) y^{\prime}+(2 x y+1)=0.
Lembrando que y'=\dfrac{dy}{dx}, multiplicando ambos os lados por dx obtemos
(2 x y+1)\,dx + (x^{2}+4 y)\,dy = 0.
Portanto identificamos
M(x,y)=2xy+1,\qquad N(x,y)=x^{2}+4y.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial M}{\partial y}. Como M(x,y)=2xy+1, ao derivar em relação a y (tratando x como constante) temos
\frac{\partial M}{\partial y}=2x.
Explicando: a derivada de 2xy em relação a y é 2x porque 2x é coeficiente constante quando diferenciamos em y; a derivada de 1 é 0.

Passo 5

Agora calculamos \dfrac{\partial N}{\partial x}. Como N(x,y)=x^{2}+4y, ao derivar em relação a x (tratando y como constante) temos
\frac{\partial N}{\partial x}=2x.
Explicando: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x; a derivada de 4y em relação a x é 0 porque y é tratado como constante.

Passo 6

Compare as duas derivadas parciais que calculamos:
\frac{\partial M}{\partial y}=2x,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x.
Elas são iguais. Além disso, M e N são polinômios, portanto têm derivadas contínuas em toda a reta (x,y), logo a condição para exatidão vale numa região adequada. Conclusão: a equação é exata.

Passo 7

Para consolidar o entendimento, vou mostrar como encontrar a solução implícita \psi(x,y)=C. Começamos buscando uma função \psi tal que \psi_x=M. Tomando
\frac{\partial \psi}{\partial x}=2xy+1,
integramos em relação a x (tratando y como constante):
\psi(x,y)=\int (2xy+1)\,dx = x^{2}y + x + h(y),
onde h(y) é uma “constante de integração” que pode depender de y.

Passo 8

Agora impomos \psi_y = N. Diferenciando \psi(x,y)=x^{2}y + x + h(y) em relação a y obtemos
\frac{\partial \psi}{\partial y}=x^{2} + h'(y).
Isso deve ser igual a N(x,y)=x^{2}+4y. Logo
x^{2} + h'(y) = x^{2} + 4y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=4y.
Integrando em y,
h(y)=\int 4y\,dy = 2y^{2} + C_{0}.
Podemos absorver C_{0} no lado direito da solução implícita final.

Passo 9

Substituindo h(y)=2y^{2} em \psi, obtemos uma função potencial
\psi(x,y)=x^{2}y + x + 2y^{2}.
A solução geral implícita da equação exata é
\psi(x,y)=C,
ou seja
x^{2}y + x + 2y^{2} = C,
onde C é constante arbitrária. Isso é útil na prova: além de verificar exatidão, muitas vezes pede-se a solução.

Resposta

Sim — é exata. Solução geral implícita: x^{2}y + x + 2y^{2} = C

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