Dada a EDO não-homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2+8 d yd x=5 x+2 e^-x
Encontre a função complementar.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
d^2ydx^2 + 8,dydx = 5x + 2e^-x
e pede a função complementar, ou seja, a solução geral da equação homogênea associada. O conteúdo aqui é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação homogênea associada, simplesmente igualando o segundo membro a zero:
d^2ydx^2 + 8,dydx = 0

Passo 3

Usamos a substituição padrão y=e^rx. Então
d^2ydx^2 to r^2e^rx, dydx to r,e^rx,
e a equação homogênea vira a equação característica:
r^2 + 8r = 0

Passo 4

Resolvendo
r^2 + 8r = r(r+8)=0
obtém-se as raízes
r1=0, r2=-8

Passo 5

Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
yc(x) = C1,e^r1x + C2,e^r2x = C1,e^0cdot x + C2,e^-8x = C1 + C2,e^-8x

Resposta

yc(x) = C1 + C2,e^-8x

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