Encontre o Wronskiano e determine se cada conjunto de funções são linearmente independente ou linearmente dependentes em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Wronskiano do conjunto de funções e descobrir se esse conjunto é linearmente independente ou dependente no intervalo . Para isso, vamos usar o conceito de Wronskiano, que ajuda a determinar a independência linear de funções. Você vai ver como a gente vai passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de um conjunto de funções é o determinante de uma matriz feita pelas funções e suas derivadas. No nosso caso, temos três funções, então vamos montar uma matriz . As funções são , e .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções:
A primeira derivada de é .
A primeira derivada de é .
A primeira derivada de é .
Vamos precisar também das segundas derivadas:
A segunda derivada de é .
A segunda derivada de é .
A segunda derivada de é .
Passo 4
Com as funções e suas derivadas, vamos montar a matriz do Wronskiano:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3 times 3, o determinante é calculado da seguinte forma:
O Wronskiano W(t) é igual a zero para todo t no intervalo (-infty, infty). Isso significa que as funções do conjunto são linearmente dependentes nesse intervalo.
Resposta
O Wronskiano é W(t) = 0 para todo t em (-infty, infty), portanto, o conjunto de funções é linearmente dependente nesse intervalo.