Encontre o Wronskiano e determine se cada conjunto de funções são linearmente independente ou linearmente dependentes em (-infty, infty).
t, t^2, 4 t-3 t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Wronskiano do conjunto de funções t, t^2, 4 t - 3 t^2 e descobrir se esse conjunto é linearmente independente ou dependente no intervalo (-infty, infty). Para isso, vamos usar o conceito de Wronskiano, que ajuda a determinar a independência linear de funções. Você vai ver como a gente vai passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de um conjunto de funções é o determinante de uma matriz feita pelas funções e suas derivadas. No nosso caso, temos três funções, então vamos montar uma matriz 3 times 3. As funções são f1(t) = t, f2(t) = t^2 e f3(t) = 4t - 3t^2.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções:
  • A primeira derivada de f1(t) = t é f1'(t) = 1.
  • A primeira derivada de f2(t) = t^2 é f2'(t) = 2t.
  • A primeira derivada de f3(t) = 4t - 3t^2 é f3'(t) = 4 - 6t.
Vamos precisar também das segundas derivadas:
  • A segunda derivada de f1(t) é f1''(t) = 0.
  • A segunda derivada de f2(t) é f2''(t) = 2.
  • A segunda derivada de f3(t) é f3''(t) = -6.

Passo 4

Com as funções e suas derivadas, vamos montar a matriz do Wronskiano:
W(t) = f1(t) & f2(t) & f3(t) f1'(t) & f2'(t) & f3'(t) f1''(t) & f2''(t) & f3''(t) = t & t^2 & 4t - 3t^2 1 & 2t & 4 - 6t 0 & 2 & -6

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3 times 3, o determinante é calculado da seguinte forma:
W(t) = t cdot 2t & 4 - 6t 2 & -6 - t^2 cdot 1 & 4 - 6t 0 & -6 + (4t - 3t^2) cdot 1 & 2t 0 & 2
Vamos calcular cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
2t & 4 - 6t 2 & -6 = (2t)(-6) - (4 - 6t)(2) = -12t - 8 + 12t = -8
  1. Segundo menor:
1 & 4 - 6t 0 & -6 = (1)(-6) - (4 - 6t)(0) = -6
  1. Terceiro menor:
1 & 2t 0 & 2 = (1)(2) - (2t)(0) = 2

Passo 6

Substituindo os valores dos menores no determinante:
W(t) = t cdot (-8) - t^2 cdot (-6) + (4t - 3t^2) cdot 2 = -8t + 6t^2 + 8t - 6t^2 = 0

Passo 7

O Wronskiano W(t) é igual a zero para todo t no intervalo (-infty, infty). Isso significa que as funções do conjunto são linearmente dependentes nesse intervalo.

Resposta

O Wronskiano é W(t) = 0 para todo t em (-infty, infty), portanto, o conjunto de funções é linearmente dependente nesse intervalo.

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