Determine a solução geral das EDs, de coeficientes variáveis abaixo, sabendo que as funções y1 e y2, dadas, são soluções linearmente independentes da equação homogênea associada (à cada equação):
x y^prime prime-(1+x) y^prime+y=x^2 e^2 x ; y1=1+x e y2=e^x

Passo 1

A equação dada é
x y'' - (1 + x) y' + y = x^2 e^2x,
e queremos a solução geral da EDO não homogênea de coeficientes variáveis, sabendo que as soluções fundamentais da homogênea são y1 = 1 + x e y2 = e^x. Vamos usar variação de parâmetros.

Passo 2

Para aplicar variação de parâmetros, colocamos a EDO na forma padrão
y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x)
Dividindo tudo por x (assumindo xneq0) obtemos
y'' - 1+xxy' + 1xy = x e^2x
Logo, p(x) = -tfrac1+xx, q(x) = tfrac1x e g(x)=x e^2x.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
W(x)=y1 & y2y1' & y2'=(1+x)e^x - 1cdot e^x = x e^x,
que é diferente de zero para xneq0, confirmando independência linear.

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem que
u1' = -y2(x),g(x)W(x), u2' = y1(x),g(x)W(x)
Substituindo y1,y2,g,W:

Passo 5

Calculamos
u1' = -e^x cdot x e^2xx e^x = -e^2x,
e integramos:
u1 = integral -e^2x,dx = -tfrac12 e^2x

Passo 6

Calculamos
u2' = (1+x),x e^2xx e^x = (1+x)e^x,
e integramos:
u2 = integral (1+x)e^x,dx = e^x + (x e^x - e^x) = x e^x

Passo 7

A solução particular vem de
yp = u1 y1 + u2 y2 = l(-tfrac12 e^2xr)(1+x) + (x e^x)(e^x)
Simplificando:
yp = l(-tfrac12 - tfracx2 + xr)e^2x = tfracx-12e^2x

Passo 8

Finalmente, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1(1+x) + C2 e^x + x-12e^2x

Resposta

y(x) = C1(1+x) + C2 e^x + tfracx-12e^2x

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