Determine a solução geral das EDs, de coeficientes variáveis abaixo, sabendo que as funções e , dadas, são soluções linearmente independentes da equação homogênea associada (à cada equação): e
Passo 1
A equação dada é
e queremos a solução geral da EDO não homogênea de coeficientes variáveis, sabendo que as soluções fundamentais da homogênea são e . Vamos usar variação de parâmetros.
Passo 2
Para aplicar variação de parâmetros, colocamos a EDO na forma padrão
Dividindo tudo por (assumindo ) obtemos
Logo, , e .
Passo 3
Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
que é diferente de zero para xneq0, confirmando independência linear.
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que
u1' = -y2(x),g(x)W(x), u2' = y1(x),g(x)W(x)
Substituindo y1,y2,g,W:
Passo 5
Calculamos
u1' = -e^x cdot x e^2xx e^x = -e^2x,
e integramos:
u1 = integral -e^2x,dx = -tfrac12 e^2x
Passo 6
Calculamos
u2' = (1+x),x e^2xx e^x = (1+x)e^x,
e integramos:
u2 = integral (1+x)e^x,dx = e^x + (x e^x - e^x) = x e^x