Encontre a solução geral da EDO não-homogênea utilizando o método
do anulador.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
Vamos usar o método do anulador: primeiro achamos a solução complementar a partir da equação característica associada à parte homogênea; em seguida, para cada termo da não-homogeneidade usamos o anulador correspondente e propomos um ansatz para a solução particular .
Passo 2
A parte homogênea é
e sua equação característica é
Logo a solução complementar é
Passo 3
Para o termo o anulador é , mas como já é raiz simples da homogênea, multiplicamos o ansatz por . Assim propomos
Derivando:
Substituindo em :
Para que isso seja devemos ter , logo . Portanto
Passo 4
Para o termo
Derivadas:
Substituindo em vem
Isto deve igualar , gerando o sistema
Da primeira equação (B=-3C]. Substituindo na segunda:
Logo
Passo 5
A solução geral da EDO não-homogênea é
y = yc + yp1 + yp2 = C1 + C2,e^3x + 83,x,e^3x + 65cos x - 25sin x
Resposta
boxedy(x) = C1 + C2,e^3x + 83,x,e^3x + 65cos x - 25sin x