Dada a EDO não-homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2-3 d yd x=8 e^3 x+4 sen(x)
Encontre a solução geral da EDO não-homogênea utilizando o método
do anulador.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
d^2ydx^2 - 3,dydx = 8,e^3x + 4,sin(x)
Vamos usar o método do anulador: primeiro achamos a solução complementar yc a partir da equação característica associada à parte homogênea; em seguida, para cada termo da não-homogeneidade usamos o anulador correspondente e propomos um ansatz para a solução particular yp.

Passo 2

A parte homogênea é
d^2ydx^2 - 3,dydx = 0
e sua equação característica é
r^2 - 3r = 0 Longrightarrow r,(r-3)=0 ;Rightarrow; r=0,;r=3
Logo a solução complementar é
yc = C1 + C2,e^3x

Passo 3

Para o termo 8e^3x o anulador é D-3, mas como r=3 já é raiz simples da homogênea, multiplicamos o ansatz por x. Assim propomos
yp1 = A,x,e^3x
Derivando:
yp1' = A,e^3x + 3A,x,e^3x, yp1'' = 3A,e^3x + 3A,e^3x +9A,x,e^3x = 6A,e^3x +9A,x,e^3x
Substituindo em y''-3y':
(6A,e^3x+9A,x,e^3x) -3,(A,e^3x+3A,x,e^3x) =3A,e^3x
Para que isso seja 8e^3x devemos ter 3A=8, logo A=tfrac83. Portanto
yp1 = 83,x,e^3x

Passo 4

Para o termo
Derivadas:
Substituindo em vem
Isto deve igualar , gerando o sistema
Da primeira equação (B=-3C]. Substituindo na segunda:

Logo

Passo 5

A solução geral da EDO não-homogênea é
y = yc + yp1 + yp2 = C1 + C2,e^3x + 83,x,e^3x + 65cos x - 25sin x

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2,e^3x + 83,x,e^3x + 65cos x - 25sin x

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