Dada a EDO
A partir da EDO (2) obtenha uma EDO exata.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente tem a seguinte EDO:
O objetivo aqui é transformar essa EDO em uma EDO exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como podemos manipulá-la para chegarmos lá.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma EDO da forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Isso implica que
. Se essa condição não for satisfeita, a EDO não é exata, mas podemos encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 3
Vamos reescrever a EDO dada na forma padrão:
Podemos reorganizar os termos para ter:
Assim, identificamos:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a EDO é exata calculando as derivadas parciais:
Como
, a EDO não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante
que, quando multiplicarmos a EDO original por ele, torne a equação exata.
Passo 5
Para encontrar o fator integrante
, assumimos que ele depende apenas de
. A condição para que a EDO multiplicada por
seja exata é:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 6
Resolvendo a equação diferencial para
:
Isso é uma equação diferencial linear simples. A solução é:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 7
Agora, multiplicamos a EDO original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, com a EDO multiplicada pelo fator integrante, verificamos se é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a EDO é agora exata.
Resposta
A EDO exata obtida a partir da equação original é: