Dada a EDO
x^3 d yd x+4 x^2 y=e^-x
A partir da EDO (2) obtenha uma EDO exata.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente tem a seguinte EDO:
x^3 dydx + 4x^2 y = e^-x
O objetivo aqui é transformar essa EDO em uma EDO exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como podemos manipulá-la para chegarmos lá.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma EDO da forma:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
é exata se existir uma função Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = M e partial Psipartial y = N
Isso implica que partial Mpartial y = partial Npartial x . Se essa condição não for satisfeita, a EDO não é exata, mas podemos encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 3

Vamos reescrever a EDO dada na forma padrão:
x^3 dydx + 4x^2 y = e^-x
Podemos reorganizar os termos para ter:
x^3 dy + (4x^2 y - e^-x) dx = 0
Assim, identificamos:
M(x, y) = 4x^2 y - e^-x e N(x, y) = x^3

Passo 4

Agora, vamos verificar se a EDO é exata calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4x^2 e partial Npartial x = 3x^2
Como 4x^2 neq 3x^2 , a EDO não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante mu(x) que, quando multiplicarmos a EDO original por ele, torne a equação exata.

Passo 5

Para encontrar o fator integrante mu(x) , assumimos que ele depende apenas de x . A condição para que a EDO multiplicada por mu(x) seja exata é:
d mudx = mu(x) cdot ( partial Mpartial y - partial Npartial xN )
Substituindo os valores que já encontramos:
d mudx = mu(x) cdot ( 4x^2 - 3x^2x^3 ) = mu(x) cdot ( x^2x^3 ) = mu(x) cdot 1x

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial para mu(x) :
d mudx = mu(x)x
Isso é uma equação diferencial linear simples. A solução é:
mu(x) = K cdot e^integral 1x dx = K cdot e^ln |x| = Kx
Podemos escolher K = 1 para simplificar, então:
mu(x) = x

Passo 7

Agora, multiplicamos a EDO original pelo fator integrante mu(x) = x :
x cdot x^3 dydx + x cdot 4x^2 y = x cdot e^-x
Simplificando:
x^4 dydx + 4x^3 y = x e^-x

Passo 8

Agora, com a EDO multiplicada pelo fator integrante, verificamos se é exata:
M(x, y) = 4x^3 y e N(x, y) = x^4
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4x^3 e partial Npartial x = 4x^3
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a EDO é agora exata.

Resposta

A EDO exata obtida a partir da equação original é:
x^4 dydx + 4x^3 y = x e^-x

Exercícios relacionados