Dada a EDO
Resolva a EDO (1) de forma organizada!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
Essa EDO está relacionada ao conteúdo de Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para transformar a equação em uma forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável
como o inverso de
:
Então,
e a derivada de
em relação a
fica:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Essa nova equação é uma equação diferencial linear na forma:
Aqui,
e
.
Passo 6
Vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a resolver a equação linear. Calculamos:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
A parte da esquerda agora é a derivada de
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Então, isolamos
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Invertendo para resolver para
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.