Dada a EDO
x^2 d yd x=x y+y^2, x neq 0
Resolva a EDO (1) de forma organizada!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
x^2 dydx = x y + y^2, x neq 0
Essa EDO está relacionada ao conteúdo de Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para transformar a equação em uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Dividindo ambos os lados por x^2, temos:
dydx = yx + y^2x^2
Isso nos dá:
dydx = yx + y^2x^2

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável v como o inverso de y:
v = 1y
Então, y = 1v e a derivada de y em relação a x fica:
dydx = -v'v^2

Passo 4

Substituindo y e dydx na equação original, temos:
-v'v^2 = 1x v + 1x^2 v^2
Multiplicando ambos os lados por v^2 para eliminar os denominadores:
- v' = vx + 1x^2

Passo 5

Essa nova equação é uma equação diferencial linear na forma:
v' + 1x v = -1x^2
Aqui, P(x) = 1x e Q(x) = -1x^2.

Passo 6

Vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a resolver a equação linear. Calculamos:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 1x dx = e^ln|x| = x

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(x) = x:
x v' + v = -1x
A parte da esquerda agora é a derivada de x v:
ddx(x v) = -1x

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a x:
x v = -integral 1x dx + C = -ln|x| + C
Então, isolamos v:
v = -ln|x| + Cx

Passo 9

Lembrando que v = 1y, substituímos de volta para encontrar y:
1y = -ln|x| + Cx
Invertendo para resolver para y:
y = xC - ln|x|

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = xC - ln|x|
Onde C é a constante de integração.

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