Dada a EDO
x^2 d yd x=x y+y^2, x neq 0
A partir da EDO (1) obtenha uma EDO Separável.

Passo 1

Vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada:
x^2 d yd x=x y+y^2, x neq 0
Nesta resolução, vamos utilizar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente a técnica de separação de variáveis. Precisaremos manipular a equação para que possamos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por x^2 . Isso nos ajuda a isolar dydx :
dydx = x y + y^2x^2

Passo 3

Vamos separar os termos envolvendo y e x . Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
dydx = yx + y^2x^2
Perceba que a equação agora está em uma forma que sugere uma substituição para facilitar a separação.

Passo 4

Vamos fazer a substituição z = yx . Assim, y = z x e derivando ambos os lados em relação a x :
dydx = z + x dzdx
Substituindo na equação original:
z + x dzdx = z xx + z^2 x^2x^2
Simplificando:
z + x dzdx = z + z^2
Subtraindo z de ambos os lados:
x dzdx = z^2
Agora, conseguimos separar as variáveis z e x .

Resposta

A EDO separável obtida é:
dzz^2 = dxx

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