(a) Seja
. Prove o seguinte (todos são fáceis):
(i) Se
está em
e
, então
está em
.
(ii)
.
(iii)
.
(iv) Se
está em
, então existe algum número
em
tal que
.
(b) Suponha, reciprocamente, que
satisfaz as condições (i)-(iv). Prove que
.
(i) Se
(ii)
(iii)
(iv) Se
(b) Suponha, reciprocamente, que
Passo 1
Este exercício trata do conjunto A = {x : x < a}. O conteúdo envolve propriedades de conjuntos de números reais definidos por desigualdades e a definição de supremo. Para resolver a parte (a) vamos usar a transitividade de < e escolhas de exemplos concretos; para a parte (b) vamos usar a definição de supremo como mínimo das cotas superiores e as propriedades (i)–(iv) dadas.
Passo 2
Para (a)(i), se x ∈ A então x < a. Como y < x e < é transitiva, temos y < a. Assim y ∈ A pela definição de A.
Para (a)(ii), basta observar que a − 1 < a, logo a − 1 ∈ A. Assim A não é vazio.
Para (a)(iii), note que a não satisfaz a < a, então a ∉ A. Logo A ≠ ℝ, pois ℝ contém a.
Para (a)(iv), dado x ∈ A temos x < a. Defina x′ = (x + a)/2. Então por desigualdade em média temos x < x′ < a, logo x′ ∈ A e x < x′.
Para (a)(ii), basta observar que a − 1 < a, logo a − 1 ∈ A. Assim A não é vazio.
Para (a)(iii), note que a não satisfaz a < a, então a ∉ A. Logo A ≠ ℝ, pois ℝ contém a.
Para (a)(iv), dado x ∈ A temos x < a. Defina x′ = (x + a)/2. Então por desigualdade em média temos x < x′ < a, logo x′ ∈ A e x < x′.
Passo 3
Agora parte (b): seja A que satisfaz (i)–(iv). Por (ii) A ≠ ∅. Para mostrar que A é limitada acima use (iii): escolha b ∉ A. Se existisse x ∈ A com x > b, então por (i) b ∈ A, contradição. Logo ∀x∈A, x ≤ b, e A é limitada acima por b. Pelo Teorema do Supremo, α = sup A existe.
Passo 4
Mostre A ⊆ {x : x < sup A}. Se x ∈ A então x ≤ sup A. Se fosse x = sup A, pela (iv) existiria x′ ∈ A com x < x′, contradizendo que sup A é o menor limite superior. Logo x < sup A.
Mostre {x : x < sup A} ⊆ A. Se x < sup A então x não é uma cota superior de A. Logo existe y ∈ A com y > x. Como y ∈ A e x < y, pela (i) temos x ∈ A.
Mostre {x : x < sup A} ⊆ A. Se x < sup A então x não é uma cota superior de A. Logo existe y ∈ A com y > x. Como y ∈ A e x < y, pela (i) temos x ∈ A.
Resposta
A = {x : x < \sup A}