Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
Passo 1
Temos a EDO de Euler–Cauchy
e sabemos uma solução
. O conteúdo é o método de redução de ordem (D’Alembert) para encontrar uma segunda solução linearmente independente.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
Aqui
e
.
Passo 3
Pela fórmula de redução de ordem, a segunda solução é
Calculamos
logo o integrando fica
Passo 4
Integramos
portanto
Descartando o fator constante, podemos tomar
Passo 5
Como
e
são L.I., a solução geral da EDO é
Resposta
A segunda solução linearmente independente é
e a solução geral da equação é