Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0
y_{1}(x)=x

Passo 1

Temos a EDO de Euler–Cauchy
x^{2}y''+2xy'-2y=0
e sabemos uma solução y_{1}(x)=x. O conteúdo é o método de redução de ordem (D’Alembert) para encontrar uma segunda solução linearmente independente.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y''+\frac{2}{x}\,y'-\frac{2}{x^{2}}\,y=0.
Aqui P(x)=2/x e Q(x)=-2/x^{2}.

Passo 3

Pela fórmula de redução de ordem, a segunda solução é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\,\int \frac{\exp\bigl(-\int P(x)\,\mathrm{d}x\bigr)}{[y_{1}(x)]^{2}}\,\mathrm{d}x.
Calculamos
\exp\Bigl(-\int \frac{2}{x}\,\mathrm{d}x\Bigr) =\exp(-2\ln|x|) =x^{-2},
logo o integrando fica
\frac{x^{-2}}{(x)^{2}}=x^{-4}.

Passo 4

Integramos
\int x^{-4}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{3}x^{-3},
portanto
y_{2}(x)=x\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{3}x^{-3}\Bigr)=-\frac{1}{3}x^{-2}.
Descartando o fator constante, podemos tomar
y_{2}(x)=x^{-2}.

Passo 5

Como y_{1} e y_{2} são L.I., a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}\,x+C_{2}\,x^{-2}.

Resposta

A segunda solução linearmente independente é y_{2}(x)=x^{-2} e a solução geral da equação é
y(x)=C_{1}\,x+C_{2}\,x^{-2}.

Exercícios relacionados